Exercícios Resolvidos de Medidas de Centralidade e Dispersão para V.A. Contínua

Pedro A. Morettin e Wilton de O. Bussab, Estatística Básica, 5ª ed. São Paulo: Saraiva, 2006, 171-08

A v.a. contínua x tem a f.d.p.

f x =   3 x 2 ,                   - 1 x 0 0 ,                   c a s o   c o n t r á r i o

a) Se b for um número que satisfaz - 1 < b < 0 , calcule P ( x > b | x < b 2 )

b) Calcule E ( x ) e V a r ( x )

Passo 1

a) Olha aí! Já queremos calcular uma condicional :O

Mas você lembra como é uma condicional? Vamos relembrar juntos?

P A B = P A B P B

Nesse caso ele quer P ( x > b | x < b 2 ) . Vamos dar nome aos termos ok?

  • Evento A: x > b
  • Evento B: x < b 2
  • Evento A B : b < x < b 2

Assim

P A B =   P ( x > b | x < b 2 ) = P b < x < b 2 P x < b 2

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Vamos calcular cada um separadamente e depois juntar:

i) P x < b 2

Note que se b   está no intervalo - 1 < b < 0 , então b 2 também está, portanto podemos fazer esta integral normalmente.

Continuando a conta...

P x < b 2 = - 1 b 2 3 x 2 d x = x 3 - 1 b 2 = b 3 8 + 1

ii) P b < x < b 2

Como x está novamente naquele intervalo faremos a integral normalmente. Só precisamos lembrar que como b é um número negativo, b 2 é MAIOR que b .

P b < x < b 2 = b b / 2 3 x 2 d x = x 3 b b 2 = b 3 8 - b 3  

Finalmente vamos unir (i) e (ii):

P x > b x < b 2 = P b < x < b 2 P x < b 2 = b 3 8 - b 3   b 3 8 + 1 = - 7 b 3 b 3 + 8

Passo 3

b) Calcule E ( x ) e V a r ( x )

Sabemos que

E X = x . f x   d x

Substituindo teremos:

E X = - 1 0 x . 3 x 2 d x = - 1 0 3 x 3 d x

E X = 3 × x 4 4 - 1 0 = - 3 4

Passo 4

Para Var(X) utilizaremos a seguinte equação:

V a r x = E X 2 - E X 2

Como já temos E ( X ) precisamos agora encontrar E ( X 2 ) :

E X 2 = x 2 . f x   d x

Substituindo

E X 2 = - 1 0 x 2 . 3 x 2 d x = - 1 0 3 x 4 d x

E X 2 = 3 × x 5 5 - 1 0 = 3 5

Assim teremos que:

V a r X = 3 5 - - 3 4 2 = 3 5 - 9 16 =

V a r X = 3 80

Resposta

a)

- 7 b 3 b 3 + 8  

b)

E X = - 3 4   e   V a r X = 3 80

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