Enunciado

3. Dada a função f ( x ) = 2 ⋅ c o s ( x ) - x 4 :

a) Aplique o método de Newton para encontrar um valor aproximado da raiz de f ( x ) . Para cada iteração, apresente os valores de x i e f ( x i ) . Considere x 0 = 1,0 , utilize 4 casas decimais e arredondamento padrão. Utilize como critério de parada 3 iterações ( i = 0,1 , 2,3 ) ou | x i + 1 - x i | < 0,0010 .

b) Complemente a implementação do código abaixo para encontrar o zero da função f ( x ) pelo método da Falsa Corda utilizando 50 iterações como critério de parada. Considere o intervalo de separação I = [ 1 ; 1.1 ] . OBS: Em C, a equação f ( x ) pode ser escrita como 2 ⋅ c o s ( x ) - p o w f ( x , 4 ) .

Passo 1

O método da Falsa Corda é outro método iterativo para encontrar a raiz de uma função! Mas dessa vez queremos fazer 50 iterações, galera. Fica puxado fazer a mão, então um código é o melhor caminho!

Nesse caso, temos um intervalo [a,b] que contém a raiz da função e vamos aproximá-la fazendo:

x = a × f ( b ) - b × f ( a ) f ( b ) - f ( a )

Depois de obter o x , calculamos f ( x ) e verificamos se f ( x ) × f ( a ) < 0 ou se f ( x ) × f ( b ) < 0 . Mas pra que isso? Bom galera, existe um cara chamado Bolzano que enunciou o seguinte teorema: um intervalo [ x 1 , x 2 ] contém a raiz de uma função g ( x ) se g ( x 1 ) × g ( x 2 ) < 0 .

Logo, a cada iteração descobrimos um valor mais próximo da nossa raiz e reduzimos o intervalo de entrada! Vamos ficar com um código assim:

Primeiro fazemos usamos a estrutura de repetição for para percorrer as 50 iterações, uma por uma. Em seguida, calculamos os valores de f ( a ) , f ( b ) , a aproximação x da raiz e f ( x ) . Também imprimimos algumas informações importantes: o número da iteração, o intervalo [a,b] atual, e os valores que acabamos de calcular nas linhas anteriores!

No final, damos aquela conferida que eu comentei agora pouco para reduzir o intervalo de entrada! Usando um condicional if/else, definimos se o próximo intervalo de entrada será [a,b=x] ou [a=x,b]. Ao fim das 50 iterações, imprimos o último valor aproximado de x ! Moleza!

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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