Exercícios Resolvidos de Método da Bisseção

Lista 2 – Professora Aurora – UFPR – Questão 2

A função f x = 2 x - 3 x = 0 possui dois zeros: um no intervalo 0,1 e outro no intervalo 3,4 . Obtenha os zeros dessa função em ambos os intervalos usando o método da bisseção com ε = 10 - 1 . Quantas iterações foram necessárias?

Passo 1

Como todas as questões de bisseção é só aplicar a receita de bolo. Ou para parecer mais engenheiro, basta aplicar o algoritmo!

a 0 , b 0 = 0,1

ε = 0,1

Iteração 1 :

x 1 = a 0 + b 0 2 = 0.5

f x 1 = f 0.5 ≅ - 0.086

f a 0 ∙ f x 1 = 1 ∙ - 0.086 < 0

Logo, nosso novo intervalo será formado por a 0 e x 1 . Temos então que:

a 1 , b 1 = a 0 , x 1 = 0,0.5

Critério de Parada:

b 1 - a 1 = 0.5 - 0 = 0.5 > 0.1

Como não alcançamos o critério de parada continuamos as iterações.

a 1 , b 1 = 0,0.5

ε = 0,1

Iteração 2 :

x 2 = a 1 + b 1 2 = 0.25

f x 2 = f 0.25 ≅ 0.439

f a 1 ∙ f x 2 = 1 ∙ 0.439 > 0

Logo, nosso novo intervalo será formado por x 2 e b 1 . Temos então que:

a 2 , b 2 = x 2 , b 1 = 0.25,0.5

Critério de Parada:

b 2 - a 2 = 0.5 - 0.25 = 0.25 > 0.1

Como não alcançamos o critério de parada continuamos as iterações.

a 2 , b 2 = 0.25,0.5

ε = 0,1

Iteração 3 :

x 3 = a 2 + b 2 2 = 0.375

f x 3 = f 0.375 ≅ 0.17

f a 2 ∙ f x 3 = 0.439 ∙ 0.17 > 0

Logo, nosso novo intervalo será formado por x 3 e b 2 . Temos então que:

a 3 , b 3 = x 3 , b 2 = 0.375,0.5

Critério de Parada:

b 3 - a 3 = 0.5 - 0.375 = 0.125 > 0.1

Como não alcançamos o critério de parada continuamos as iterações.

a 3 , b 3 = 0.375,0.5

ε = 0,1

Iteração 4 :

x 4 = a 3 + b 3 2 = 0.4375

f x 4 = f 0.4375 ≅ 0.042

f a 3 ∙ f x 4 = 0.17 ∙ 0.042 > 0

Logo, nosso novo intervalo será formado por x 4 e b 3 . Temos então que:

a 4 , b 4 = x 4 , b 3 = 0.4375,0.5

Critério de Parada:

b 3 - a 3 = 0.5 - 0.4375 = 0.0625 < 0.1

Opa! Nosso intervalo está menor que o erro, então podemos parar por aqui e dar como resposta o intervalo 0.4375,0.5 . Uma aproximação para a raiz é o ponto médio do intervalo, x - = 0.46875 .

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Beleza, vamos para a próxima raiz:

a 0 , b 0 = 3,4

ε = 0,1

Iteração 1 :

x 1 = a 0 + b 0 2 = 3.5

f x 1 = f 3.5 ≅ 0.814

f a 0 ∙ f x 1 = - 1 ∙ 0.814 < 0

Logo, nosso novo intervalo será formado por a 0 e x 1 . Temos então que:

a 1 , b 1 = a 0 , x 1 = 3,3.5

Critério de Parada:

b 1 - a 1 = 3.5 - 3 = 0.5 > 0.1

Como não alcançamos o critério de parada continuamos as iterações.

a 1 , b 1 = 3,3.5

ε = 0,1

Iteração 2 :

x 2 = a 1 + b 1 2 = 3.25

f x 2 = f 3.25 ≅ - 0.24

f a 1 ∙ f x 2 = - 1 ∙ - 0.24 > 0

Logo, nosso novo intervalo será formado por x 2 e b 1 . Temos então que:

a 2 , b 2 = x 2 , b 1 = 3.25,3.5

Critério de Parada:

b 2 - a 2 = 3.5 - 3.25 = 0.25 > 0.1

Como não alcançamos o critério de parada continuamos as iterações.

a 2 , b 2 = 3.25,3.5

ε = 0,1

Iteração 3 :

x 3 = a 2 + b 2 2 = 3.375

f x 3 = f 3.375 ≅ 0.25

f a 2 ∙ f x 3 = - 0.24 ∙ 0.25 < 0

Logo, nosso novo intervalo será formado por a 2 e x 3 . Temos então que:

a 3 , b 3 = a 2 , x 3 = 3.25,3.375

Critério de Parada:

b 3 - a 3 = 3.375 - 3.25 = 0.125 > 0.1

Como não alcançamos o critério de parada continuamos as iterações.

a 3 , b 3 = 3.25,3.375

ε = 0,1

Iteração 4 :

x 4 = a 3 + b 3 2 = 3.3125

f x 4 = f 3.3125 ≅ - 0.0026

f a 3 ∙ f x 4 = - 0.24 ∙ - 0.0026 > 0

Logo, nosso novo intervalo será formado por x 4 e b 3 . Temos então que:

a 4 , b 4 = x 4 , b 3 = 3.3125,3.375

Critério de Parada:

b 3 - a 3 = 3.375 - 3.3125 = 0.0625 < 0.1

Opa! Nosso intervalo está menor que o erro, então podemos parar por aqui e dar como resposta o intervalo 3.3125,3.375 . Uma aproximação possível para a raiz é valor x - = 3.3 4375 .

Resposta

Intervalo 0,1 : x - = 0.46875

Intervalo 3,4 : x - = 3.34375

Foram necessárias 4 iterações para ambos os intervalos.

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