Exercícios Resolvidos de Método da Bisseção

Richard L. Burden e J. Douglas Faires, Numerical Analysis, 9ª ed. Brooks/Cole, Cengage Learning, pag 54, exercícios 5b e 5d

Use o método da Bisseção para encontrar os zeros das funções abaixo com ε ≤ 10 - 3 :

a   f x = e x - x 2 + 3 x - 2 no intervalo 0,1

b   f x = x c o s x - 2 x 2 + 3 x - 1 no intervalo 0.2,0.3

Passo 1

Novamente, é só aplicarmos o algoritmo. Dessa vez os números vão ficar beeeem grandes então como ele pede uma precisão de 10 - 3 vamos usar pelo menos 4 casas decimais pra não ter problema:

a a 0 , b 0 = 0,1

ε = 0.001

Iteração 1 :

x 1 = a 0 + b 0 2 = 0.5

f x 1 = f 0.5 ≅ 0.9

f a 0 ∙ f x 1 = - 1 ∙ 0.9 < 0

Logo, nosso novo intervalo será formado por a 0 e x 1 . Temos então que:

a 1 , b 1 = a 0 , x 1 = 0,0.5

Critério de Parada:

b 1 - a 1 = 0.5 - 0 = 0.5 > 0.001

Como não alcançamos o critério de parada continuamos as iterações.

a 1 , b 1 = 0,0.5

ε = 0.001

Iteração 2 :

x 2 = a 1 + b 1 2 = 0.25

f x 2 = f 0.25 ≅ - 0.03

f a 1 ∙ f x 2 = - 1 ∙ - 0.03 > 0

Logo, nosso novo intervalo será formado por x 2 e b 1 . Temos então que:

a 2 , b 2 = x 2 , b 1 = 0.25,0.5

Critério de Parada:

b 2 - a 2 = 0.5 - 0.25 = 0.25 > 0.001

Como não alcançamos o critério de parada continuamos as iterações.

a 2 , b 2 = 0.25,0.5

ε = 0.001

Iteração 3 :

x 3 = a 2 + b 2 2 = 0.375

f x 3 = f 0.375 ≅ 0.44

f a 2 ∙ f x 3 = - 0.03 ∙ 0.44 < 0

Logo, nosso novo intervalo será formado por a 2 e x 3 . Temos então que:

a 3 , b 3 = a 2 , x 3 = 0.25,0.375

Critério de Parada:

b 3 - a 3 = 0.375 - 0.25 = 0.125 > 0.001

Como não alcançamos o critério de parada continuamos as iterações.

a 3 , b 3 = 0.25,0.375

ε = 0.001

Iteração 4 :

x 4 = a 3 + b 3 2 = 0.3125

f x 4 = f 0.3125 ≅ 0.2

f a 3 ∙ f x 4 = - 0.03 ∙ 0.2 < 0

Logo, nosso novo intervalo será formado por a 3 e x 4 . Temos então que:

a 4 , b 4 = a 3 , x 4 = 0.25,0.3125

Critério de Parada:

b 4 - a 4 = 0.3125 - 0.25 = 0.0625 > 0.001

Como não alcançamos o critério de parada continuamos as iterações.

a 4 , b 4 = 0.25,0.3125

ε = 0.001

Iteração 5 :

x 5 = a 4 + b 4 2 = 0.28125

f x 5 = f 0.28125 ≅ 0.09

f a 4 ∙ f x 5 = - 0.3 ∙ 0.09 < 0

Logo, nosso novo intervalo será formado por a 4 e x 5 . Temos então que:

a 5 , b 5 = a 4 , x 5 = 0.25,0.28125

Critério de Parada:

b 5 - a 5 = 0.28125 - 0.25 = 0.03125 > 0.001

Como não alcançamos o critério de parada continuamos as iterações.

a 5 , b 5 = 0.25,0.28125

ε = 0.001

Iteração 6 :

x 6 = a 5 + b 5 2 = 0.265625

f x 6 = f 2.09375 ≅ 0.03

f a 5 ∙ f x 6 = - 0.03 ∙ 0.03 < 0

Logo, nosso novo intervalo será formado por a 5 e x 6 . Temos então que:

a 6 , b 6 = a 5 , x 6 = 0.25,0.265625

Critério de Parada:

b 6 - a 6 = 0.265625 - 0.25 = 0.015625 > 0.001

Como não alcançamos o critério de parada continuamos as iterações.

a 6 , b 6 = 0.25,0.265625

ε = 0.001

Iteração 7 :

x 7 = a 6 + b 6 2 = 0.2578

f x 7 = f 0.2578 ≅ 0.001

f a 6 ∙ f x 7 = - 0.03 ∙ 0.001 < 0

Logo, nosso novo intervalo será formado por a 6 e x 7 . Temos então que:

a 7 , b 7 = a 6 , x 7 = 0.25,0.2578

Critério de Parada:

b 7 - a 7 = 0.2578 - 0.25 = 0.0078 > 0.001

Como não alcançamos o critério de parada continuamos as iterações.

a 7 , b 7 = 0.25,0.2578

ε = 0.001

Iteração 8 :

x 8 = a 7 + b 7 2 = 0.2539

f x 8 = f 0.2539 ≅ - 0.014

f a 7 ∙ f x 8 = - 0.03 ∙ - 0.014 > 0

Logo, nosso novo intervalo será formado por x 8 e b 7 . Temos então que:

a 8 , b 8 = x 8 , b 7 = 0.2539,0.2578

Critério de Parada:

b 8 - a 8 = 0.2578 - 0.2539 = 0.0039 > 0.001

Como não alcançamos o critério de parada continuamos as iterações.

a 8 , b 8 = 0.2539,0.2578

ε = 0.001

Iteração 9 :

x 9 = a 8 + b 8 2 = 0.2559

f x 9 = f 0.2559 ≅ - 0.006

f a 8 ∙ f x 9 = - 0.014 ∙ - 0.006 > 0

Logo, nosso novo intervalo será formado por x 9 e b 8 . Temos então que:

a 9 , b 9 = x 9 , b 8 = 0.2559,0.2578

Critério de Parada:

b 9 - a 9 = 0.2578 - 0.2559 = 0.0019 > 0.001

Como não alcançamos o critério de parada continuamos as iterações.

a 9 , b 9 = 0.2559,0.2578

ε = 0.001

Iteração 10 :

x 10 = a 9 + b 9 2 = 0.2568

f x 10 = f 0.2568 ≅ - 0.003

f a 9 ∙ f x 10 = - 0.006 ∙ - 0.003 > 0

Logo, nosso novo intervalo será formado por x 10 e b 9 . Temos então que:

a 10 , b 10 = x 10 , b 9 = 0.2568,0.2578

Critério de Parada:

b 10 - a 10 = 0.2578 - 0.2568 = 0.001 = 0.001

Opa! Nosso intervalo está igual ao erro, então podemos parar por aqui e dar como resposta a aproximação para a raiz x - = 0.2573 .

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Ufa! Agora vamos para a letra b .

a 0 , b 0 = 0.2,0.3

ε = 0.001

Iteração 1 :

x 1 = a 0 + b 0 2 = 0.25

f x 1 = f 0.25 ≅ - 0.13

f a 0 ∙ f x 1 = - 0.28 ∙ - 0.13 > 0

Logo, nosso novo intervalo será formado por x 1 e b 0 . Temos então que:

a 1 , b 1 = x 1 , b 0 = 0.25,0.3

Critério de Parada:

b 1 - a 1 = 0.3 - 0.25 = 0.05 > 0.001

Como não alcançamos o critério de parada continuamos as iterações.

a 1 , b 1 = 0.25,0.3

ε = 0.001

Iteração 2 :

x 2 = a 1 + b 1 2 = 0.275

f x 2 = f 0.275 ≅ - 0.06

f a 1 ∙ f x 2 = - 0.13 ∙ - 0.06 > 0

Logo, nosso novo intervalo será formado por x 2 e b 1 . Temos então que:

a 2 , b 2 = x 2 , b 1 = 0.275,0.3

Critério de Parada:

b 2 - a 2 = 0.3 - 0.275 = 0.025 > 0.001

Como não alcançamos o critério de parada continuamos as iterações.

a 2 , b 2 = 0.275,0.3

ε = 0.001

Iteração 3 :

x 3 = a 2 + b 2 2 = 0.2875

f x 3 = f 0.2875 ≅ - 0.03

f a 2 ∙ f x 3 = - 0.06 ∙ - 0.03 > 0

Logo, nosso novo intervalo será formado por x 3 e b 2 . Temos então que:

a 3 , b 3 = x 3 , b 2 = 0.2875,0.3

Critério de Parada:

b 3 - a 3 = 0.3 - 0.2875 = 0.0125 > 0.001

Como não alcançamos o critério de parada continuamos as iterações.

a 3 , b 3 = 0.2875,0.3

ε = 0.001

Iteração 4 :

x 4 = a 3 + b 3 2 = 0.29375

f x 4 = f 0.29375 ≅ - 0.01

f a 3 ∙ f x 4 = - 0.03 ∙ - 0.01 > 0

Logo, nosso novo intervalo será formado por a 3 e x 4 . Temos então que:

a 4 , b 4 = x 4 , b 3 = 0.29375,0.3

Critério de Parada:

b 4 - a 4 = 0.3 - 0.29375 = 0.00625 > 0.001

Como não alcançamos o critério de parada continuamos as iterações.

a 4 , b 4 = 0.29375,0.3

ε = 0.001

Iteração 5 :

x 5 = a 4 + b 4 2 = 0.2969

f x 5 = f 0.2969 ≅ - 0.002

f a 4 ∙ f x 5 = - 0.01 ∙ - 0.002 > 0

Logo, nosso novo intervalo será formado por x 5 e b 4 . Temos então que:

a 5 , b 5 = x 5 , b 4 = 0.2969,0.3

Critério de Parada:

b 5 - a 5 = 0.3 - 0.2969 = 0.0031 > 0.001

Como não alcançamos o critério de parada continuamos as iterações.

a 5 , b 5 = 0.2969,0.3

ε = 0.001

Iteração 6 :

x 6 = a 5 + b 5 2 = 0.2984

f x 6 = f 0.2984 ≅ 0.002

f a 5 ∙ f x 6 = - 0.002 ∙ 0.002 < 0

Logo, nosso novo intervalo será formado por a 5 e x 6 . Temos então que:

a 6 , b 6 = a 5 , x 6 = 0.2969,0.2984

Critério de Parada:

b 6 - a 6 = 0.2984 - 0.2969 = 0.0015 > 0.001

Como não alcançamos o critério de parada continuamos as iterações.

a 6 , b 6 = 0.2969,0.2984

ε = 0.001

Iteração 7 :

x 7 = a 6 + b 6 2 = 0.2977

f x 7 = f 0.2977 ≅ 0.0003

f a 6 ∙ f x 7 = - 0.002 ∙ 0.0003 < 0

Logo, nosso novo intervalo será formado por a 6 e x 7 . Temos então que:

a 7 , b 7 = a 6 , x 7 = 0.2969,0.2977

Critério de Parada:

b 7 - a 7 = 0.2977 - 0.2969 = 0.0008 < 0.001

Opa! Nosso intervalo está menor que o erro, então podemos parar por aqui e dar como resposta a aproximação para a raiz x - = 0.2973 .

Resposta

a   x - = 0.2573

b x - = 0.2973

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