Exercícios Resolvidos de Método da Bisseção

Lista 2 – Professor Daniel – UFRJ – Questão 3

Encontre o número de iterações necessário para obter uma aproximação com precisão de 10 - 3 para a solução da equação x 3 + x - 4 = 0 que se encontra no intervalo 1,2 pelo Método da Bisseção. Encontre um valor aproximado para a raiz com esse grau de precisão.

Passo 1

Primeira coisa que ele pergunta é quantas iterações vamos precisar. Pra isso basta usar nossa fórmula né?

k > ln ⁡ b 0 - a 0 - ln ⁡ ε ln ⁡ 2 = ln ⁡ 1 - ln ⁡ 0.001 ln ⁡ 2 ≅ 9.96 ⇒ k = 10

Beleza, então vamos precisar de 10 iterações! Agora temos que botar a mão na massa e achar uma aproximação pra isso aí.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

a 0 , b 0 = 1,2

ε = 0.001

Iteração 1 :

x 1 = a 0 + b 0 2 = 1.5

f x 1 = f 1.5 ≅ 0.875

f a 0 ∙ f x 1 = - 2 ∙ 0.875 < 0

Logo, nosso novo intervalo será formado por a 0 e x 1 . Temos então que:

a 1 , b 1 = a 0 , x 1 = 1,1.5

Critério de Parada:

b 1 - a 1 = 1.5 - 1 = 0.5 > 0.001

Como não alcançamos o critério de parada continuamos as iterações.

a 1 , b 1 = 1,1.5

ε = 0.001

Iteração 2 :

x 2 = a 1 + b 1 2 = 1.25

f x 2 = f 1.25 ≅ - 0.8

f a 1 ∙ f x 2 = - 2 ∙ - 0.8 > 0

Logo, nosso novo intervalo será formado por x 2 e b 1 . Temos então que:

a 2 , b 2 = x 2 , b 1 = 1.25,1.5

Critério de Parada:

b 2 - a 2 = 1.5 - 1.25 = 0.25 > 0.001

Como não alcançamos o critério de parada continuamos as iterações.

a 2 , b 2 = 1.25,1.5

ε = 0.001

Iteração 3 :

x 3 = a 2 + b 2 2 = 1.375

f x 3 = f 1.375 ≅ - 0.03

f a 2 ∙ f x 3 = - 0.8 ∙ - 0.03 > 0

Logo, nosso novo intervalo será formado por x 3 e b 2 . Temos então que:

a 3 , b 3 = x 3 , b 2 = 1.375,1.5

Critério de Parada:

b 3 - a 3 = 1.5 - 1.375 = 0.125 > 0.001

Como não alcançamos o critério de parada continuamos as iterações.

a 3 , b 3 = 1.375,1.5

ε = 0.001

Iteração 4 :

x 4 = a 3 + b 3 2 = 1.4375

f x 4 = f 1.4375 ≅ 0.4

f a 3 ∙ f x 4 = - 0.03 ∙ 0.4 < 0

Logo, nosso novo intervalo será formado por a 3 e x 4 . Temos então que:

a 4 , b 4 = a 3 , x 4 = 1.375,1.4375

Critério de Parada:

b 4 - a 4 = 1.4375 - 1.375 = 0.0625 > 0.001

Como não alcançamos o critério de parada continuamos as iterações.

a 4 , b 4 = 1.375,1.4375

ε = 0.001

Iteração 5 :

x 5 = a 4 + b 4 2 = 1.40625

f x 5 = f 1.40625 ≅ 0.2

f a 4 ∙ f x 5 = - 0.03 ∙ 0.2 < 0

Logo, nosso novo intervalo será formado por a 4 e x 5 . Temos então que:

a 5 , b 5 = a 4 , x 5 = 1.375,1.40625

Critério de Parada:

b 5 - a 5 = 1.40625 - 1.375 = 0.03125 > 0.001

Como não alcançamos o critério de parada continuamos as iterações.

a 5 , b 5 = 1.375,1.40625

ε = 0.001

Iteração 6 :

x 6 = a 5 + b 5 2 = 1.390625

f x 6 = f 1.390625 ≅ 0.08

f a 5 ∙ f x 6 = - 0.03 ∙ 0.08 < 0

Logo, nosso novo intervalo será formado por a 5 e x 6 . Temos então que:

a 6 , b 6 = a 5 , x 6 = 1.375,1.390625

Critério de Parada:

b 6 - a 6 = 1.390625 - 1.375 = 0.015625 > 0.001

Como não alcançamos o critério de parada continuamos as iterações.

a 6 , b 6 = 1.375,1.390625

ε = 0.001

Iteração 7 :

x 7 = a 6 + b 6 2 = 1.3828

f x 7 = f 1.3828 ≅ 0.03

f a 6 ∙ f x 7 = - 0.03 ∙ 0.03 < 0

Logo, nosso novo intervalo será formado por a 6 e x 7 . Temos então que:

a 7 , b 7 = a 6 , x 7 = 1.375,1.3828

Critério de Parada:

b 7 - a 7 = 1.3828 - 1.375 = 0.0078 > 0.001

Como não alcançamos o critério de parada continuamos as iterações.

a 7 , b 7 = 1.375,1.3828

ε = 0.001

Iteração 8 :

x 8 = a 7 + b 7 2 = 1.3789

f x 8 = f 1.3789 ≅ 0.0007

f a 7 ∙ f x 8 = - 0.03 ∙ 0.0007 < 0

Logo, nosso novo intervalo será formado por a 7 e x 8 . Temos então que:

a 8 , b 8 = a 7 , x 8 = 1.375,1.3789

Critério de Parada:

b 8 - a 8 = 1.3789 - 1.375 = 0.0039 > 0.001

Como não alcançamos o critério de parada continuamos as iterações.

a 8 , b 8 = 1.375,1.3789

ε = 0.001

Iteração 9 :

x 9 = a 8 + b 8 2 = 1.3769

f x 9 = f 1.3769 ≅ - 0.01

f a 8 ∙ f x 9 = - 0.03 ∙ - 0.01 > 0

Logo, nosso novo intervalo será formado por x 9 e b 8 . Temos então que:

a 9 , b 9 = x 9 , b 8 = 1.3769,1.3789

Critério de Parada:

b 9 - a 9 = 1.3789 - 1.3769 = 0.002 > 0.001

Como não alcançamos o critério de parada continuamos as iterações.

a 9 , b 9 = 1.3769,1.3789

ε = 0.001

Iteração 10 :

x 10 = a 9 + b 9 2 = 1.3779

f x 10 = f 1.3779 ≅ - 0.006

f a 9 ∙ f x 10 = - 0.01 ∙ - 0.006 > 0

Logo, nosso novo intervalo será formado por x 10 e b 9 . Temos então que:

a 10 , b 10 = x 10 , b 9 = 1.3779,1.3789

Critério de Parada:

b 10 - a 10 = 1.3789 - 1.3779 = 0.001 = 0.001

Opa! Nosso intervalo está igual ao erro, então podemos parar por aqui e dar como resposta a aproximação para a raiz x - = 1.3784 .

Resposta

São necessárias 10 iterações. x - = 1.3784 .

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