Exercícios Resolvidos de Método da Bisseção

Lista 2 – Professora Juliana – UFRJ – Questão 2 – Item ii

Seja f x = cos ⁡ x - x em 0,1 , faça:

a Mostre que f x é contínua no intervalo e teste se existe uma raiz no intervalo.

b Encontre o número de iterações k para uma precisão de ε = 10 - 3 usando o método da bisseção.

c Faça k iterações e forneça uma estimativa para a raiz.

Passo 1

a Sabemos que cos ⁡ x e x são contínuas em 0,1 né? Então f x também será! Repare que teríamos problemas apenas se estivéssemos em um intervalo negativo já que começaríamos a mexer com imaginários.

Para testar se tem uma raiz basta usarmos o teorema do nosso amigo com nome de palhaço, o grande Bolzano.

f 0 = 1

f 1 = cos ⁡ 1 - 1 ≅ - 0.46

Temos f 0 ∙ f 1 < 0 , logo existe uma raiz nesse intervalo.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

b Agora para acharmos o número de iterações só jogarmos naquela fórmula:

k > ln ⁡ b 0 - a 0 - ln ⁡ ε ln ⁡ 2 = ln ⁡ 1 - ln ⁡ 0.001 ln ⁡ 2 ≅ 9.96 ⇒ k = 10

Beleza, precisamos de 10 iterações! Agora vamos botar a mão na massa!

Passo 3

c a 0 , b 0 = 0,1

ε = 0.001

Iteração 1 :

x 1 = a 0 + b 0 2 = 0.5

f x 1 = f 0.5 ≅ 0.17

f a 0 ∙ f x 1 = 1 ∙ 0.17 > 0

Logo, nosso novo intervalo será formado por x 1 e b 0 . Temos então que:

a 1 , b 1 = x 1 , b 0 = 0.5,1

Critério de Parada:

b 1 - a 1 = 1 - 0.5 = 0.5 > 0.001

Como não alcançamos o critério de parada continuamos as iterações.

a 1 , b 1 = 0.5,1

ε = 0.001

Iteração 2 :

x 2 = a 1 + b 1 2 = 0.75

f x 2 = f 0.75 ≅ - 0.13

f a 1 ∙ f x 2 = 0.17 ∙ - 0.13 < 0

Logo, nosso novo intervalo será formado por a 1 e x 2 . Temos então que:

a 2 , b 2 = a 1 , x 2 = 0.5,0.75

Critério de Parada:

b 2 - a 2 = 0.75 - 0.5 = 0.25 > 0.001

Como não alcançamos o critério de parada continuamos as iterações.

a 2 , b 2 = 0.5,0.75

ε = 0.001

Iteração 3 :

x 3 = a 2 + b 2 2 = 0.625

f x 3 = f 0.625 ≅ 0.02

f a 2 ∙ f x 3 = 0.17 ∙ 0.02 > 0

Logo, nosso novo intervalo será formado por x 3 e b 2 . Temos então que:

a 3 , b 3 = x 3 , b 2 = 0.625 , 0.75

Critério de Parada:

b 3 - a 3 = 0.75 - 0.625 = 0.125 > 0.001

Como não alcançamos o critério de parada continuamos as iterações.

a 3 , b 3 = 0.625 , 0.75

ε = 0.001

Iteração 4 :

x 4 = a 3 + b 3 2 = 0.6875

f x 4 = f 0.6875 ≅ - 0.0 6

f a 3 ∙ f x 4 = 0.02 ∙ - 0.0 6 < 0

Logo, nosso novo intervalo será formado por a 3 e x 4 . Temos então que:

a 4 , b 4 = a 3 , x 4 = 0.625 , 0.6875

Critério de Parada:

b 4 - a 4 = 0.6875 - 0.625 = 0.0625 > 0.001

Como não alcançamos o critério de parada continuamos as iterações.

a 4 , b 4 = 0.625 , 0.6875

ε = 0.001

Iteração 5 :

x 5 = a 4 + b 4 2 = 0.65625

f x 5 = f 0.65625 ≅ - 0.02

f a 4 ∙ f x 5 = 0.02 ∙ - 0.02 < 0

Logo, nosso novo intervalo será formado por a 4 e x 5 . Temos então que:

a 5 , b 5 = a 4 , x 5 = 0.625 , 0.65625

Critério de Parada:

b 5 - a 5 = 0.65625 - 0.625 = 0.03125 > 0.001

Como não alcançamos o critério de parada continuamos as iterações.

a 5 , b 5 = 0.625 , 0.65625

ε = 0.001

Iteração 6 :

x 6 = a 5 + b 5 2 = 0.640625

f x 6 = f 0.640625 ≅ 0.001

f a 5 ∙ f x 6 = 0.02 ∙ 0.001 > 0

Logo, nosso novo intervalo será formado por x 6 e b 5 . Temos então que:

a 6 , b 6 = x 6 , b 5 = 0.640625 , 0.65625

Critério de Parada:

b 6 - a 6 = 0.65625 - 0.640625 = 0.015625 > 0.001

Como não alcançamos o critério de parada continuamos as iterações.

a 6 , b 6 = 0.640625 , 0.65625

ε = 0.001

Iteração 7 :

x 7 = a 6 + b 6 2 = 0.6484

f x 7 = f 0.6484 ≅ - 0.008

f a 6 ∙ f x 7 = 0.001 ∙ - 0.008 < 0

Logo, nosso novo intervalo será formado por a 6 e x 7 . Temos então que:

a 7 , b 7 = a 6 , x 7 = 0.6406 , 0.6484

Critério de Parada:

b 7 - a 7 = 0.6484 - 0.6406 = 0.0078 > 0.001

Como não alcançamos o critério de parada continuamos as iterações.

a 7 , b 7 = 0.6406 , 0.6484

ε = 0.001

Iteração 8 :

x 8 = a 7 + b 7 2 = 0.64453

f x 8 = f 0.64453 ≅ - 0.003

f a 7 ∙ f x 8 = 0.001 ∙ - 0.003 < 0

Logo, nosso novo intervalo será formado por a 7 e x 8 . Temos então que:

a 8 , b 8 = a 7 , x 8 = 0.6406 , 0.64453

Critério de Parada:

b 8 - a 8 = 0.64453 - 0.6406 = 0.0039 > 0.001

Como não alcançamos o critério de parada continuamos as iterações.

a 8 , b 8 = 0.6406 , 0.64453

ε = 0.001

Iteração 9 :

x 9 = a 8 + b 8 2 = 0 . 6426

f x 9 = f 0 . 6426 ≅ - 0.001

f a 8 ∙ f x 9 = 0.001 ∙ - 0.001 < 0

Logo, nosso novo intervalo será formado por a 8 e x 9 . Temos então que:

a 9 , b 9 = a 8 , x 9 = 0.6406 , 0 . 6426

Critério de Parada:

b 9 - a 9 = 0 . 6426 - 0.6406 = 0.002 > 0.001

Como não alcançamos o critério de parada continuamos as iterações.

a 9 , b 9 = 0.6406 , 0 . 6426

ε = 0.001

Iteração 10 :

x 10 = a 9 + b 9 2 = 0.6416

f x 10 = f 0.6416 ≅ 0.0001

f a 9 ∙ f x 10 = 0.001 ∙ 0.0001 > 0

Logo, nosso novo intervalo será formado por x 10 e b 9 . Temos então que:

a 10 , b 10 = x 10 , b 9 = 0.6416 , 0 . 6426

Critério de Parada:

b 10 - a 10 = 0 . 6426 - 0 . 64 1 6 = 0.001 = 0.001

Finalmente! Nosso intervalo está igual ao erro, então podemos parar por aqui e dar como resposta a aproximação para a raiz x - = 0 . 64 16 .

Resposta

b k = 10

c x - = 0 . 6416

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