Exercícios Resolvidos de Método da Bisseção

Richard L. Burden e J. Douglas Faires, Numerical Analysis, 9ª ed. Brooks/Cole, Cengage Learning, pag 55, exercício 13

Encontre uma aproximação para 25 3 com precisão de 10 - 2 usando o método da Bisseção.

Passo 1

Opa, finalmente uma questão pra gente raciocinar um pouco. Bom, o método da Bisseção nos dá o zero de uma função, certo? Po, mas essa questão não ta dando função nenhuma! Alguma ideia?

Bom, pensa comigo, quanto vale 25 3 elevado ao cubo? Vale 25 né? Então:

25 3 3 = 25

25 3 3 - 25 = 0

x 3 - 25 = 0

E pronto! Taí nossa função! O x que zera a função f x = x 3 - 25 é justamente o x = 25 3 que é o que queremos aproximar! O próximo passo é arrumar um intervalo que contenha 25 3 . Que tal 2.5 e 3 ? Se liga:

2,5 3 - 25 = - 9.375

3 3 - 25 = 2

Opa, um deu positivo e o outro negativo, então temos nosso intervalo 2.5,3 . Agora é só aplicar o algoritmo ;)

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

a 0 , b 0 = 2.5,3

ε = 0.0 1

Iteração 1 :

x 1 = a 0 + b 0 2 = 2.75

f x 1 = f 2.75 - 4.2

f a 0 f x 1 = - 9.375 - 4.2 > 0

Logo, nosso novo intervalo será formado por x 1 e b 0 . Temos então que:

a 1 , b 1 = x 1 , b 0 = 2.75,3

Critério de Parada:

b 1 - a 1 = 3 - 2.75 = 0 . 25 > 0 . 01

Como não alcançamos o critério de parada continuamos as iterações.

a 1 , b 1 = 2.75,3

ε = 0.0 1

Iteração 2 :

x 2 = a 1 + b 1 2 = 2.875

f x 2 = f 2.875 - 1.2 4

f a 1 f x 2 = - 4.2 - 1.2 4 > 0

Logo, nosso novo intervalo será formado por x 2 e b 1 . Temos então que:

a 2 , b 2 = x 2 , b 1 = 2.875 , 3

Critério de Parada:

b 2 - a 2 = 3 - 2.875 = 0.125 > 0.0 1

Como não alcançamos o critério de parada continuamos as iterações.

a 2 , b 2 = 2.875,3

ε = 0 . 01

Iteração 3 :

x 3 = a 2 + b 2 2 = 2.9375

f x 3 = f 2.9375 0.35

f a 2 f x 3 = - 1.24 0.35 < 0

Logo, nosso novo intervalo será formado por a 2 e x 3 . Temos então que:

a 3 , b 3 = a 2 , x 3 = 2.875 , 2.9375

Critério de Parada:

b 3 - a 3 = 2.9375 - 2.875 = 0.0625 > 0 . 01

Como não alcançamos o critério de parada continuamos as iterações.

a 3 , b 3 = 2.875 , 2.9375

ε = 0 . 01

Iteração 4 :

x 4 = a 3 + b 3 2 = 2.90625

f x 4 = f 2.90625 - 0.45

f a 3 f x 4 = - 1.24 - 0.45 > 0

Logo, nosso novo intervalo será formado por x 4 e b 3 . Temos então que:

a 4 , b 4 = x 4 , b 3 = 2.90625 , 2.9375

Critério de Parada:

b 4 - a 4 = 2.9375 - 2.90625 = 0.03125 > 0.0 1

Como não alcançamos o critério de parada continuamos as iterações.

a 4 , b 4 = 2.90625 , 2.9375

ε = 0 . 01

Iteração 5 :

x 5 = a 4 + b 4 2 = 2.92 2

f x 5 = f 2.92 2 - 0.05

f a 4 f x 5 = - 0.45 - 0.05 > 0

Logo, nosso novo intervalo será formado por x 5 e b 4 . Temos então que:

a 5 , b 5 = a 4 , x 5 = 2.92 2 , 2.9375

Critério de Parada:

b 5 - a 5 = 2.9375 - 2.92 2 = 0.0155 > 0 . 01

Como não alcançamos o critério de parada continuamos as iterações.

a 5 , b 5 = 2.92 2 , 2.9375

ε = 0 . 01

Iteração 6 :

x 6 = a 5 + b 5 2 = 2.929 7

f x 6 = f 2.929 7 0.14

f a 5 f x 6 = - 0.05 0.14 < 0

Logo, nosso novo intervalo será formado por a 5 e x 6 . Temos então que:

a 6 , b 6 = a 5 , x 6 = 2.92 2 , 2.929 7

Critério de Parada:

b 6 - a 6 = 2.929 7 - 2.92 2 = 0.0 077 < 0.01

Nosso intervalo está menor que o erro, então podemos parar por aqui e dar como resposta a aproximação para a raiz x - = 2.926 .

Resposta

x - = 2.926

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