O método da Bisseção é uma das primeiras aquisições teóricas quando estudamos Cálculo Numérico e se baseia na sucessiva divisão de intervalo no qual consideramos a existência de raízes até que as mesmas (ou a mesma) estejam determinadas. Considerando a função f x = x 3 - 3 x 2 + 4 x - 2 , o intervalo [ 0 ,   5 ] , identifique o próximo intervalo a ser adotado no processo reiterado do método citado.

  1. 0 ,   2.5
  2. 2.5 ,   5
  3. [ 3 ,   5 ]
  4. 0 ,   1.5
  5. [ 3 ,   4 ]

Passo 1

A primeira coisa que vamos fazer é aplicar o Teorema de Bolzano para verificar se o intervalo dado no enunciado de fato contém uma raiz. Assim, aplicando o teorema de Bolzano no intervalo [ 0 ,   5 ] , temos

f x = x 3 - 3 x 2 + 4 x - 2

Assim,

f 0 = - 2

E

f 5 = 68

Assim, fazendo

f 0 ∙ f 5 = - 2 ∙ 68 = - 136

OPA! A multiplicação deu um valor menor do que zero! O teorema de Bolzano então nos garante que existe pelo menos uma raiz entre o intervalo [ 0 ,   5 ] .

Show de bola?!

Passo 2

Agora precisamos começar o processo de iteração!

Aqui no método da bisseção o algoritmo é o seguinte:

Tiramos a média entre os dois pontos do intervalo e vemos onde está a raiz. Bem simples né?

Por exemplo, se temos um intervalo a , b , fazemos:

a + b 2 =   x k

Agora ficamos com dois intervalos de tamanhos iguais, a , x e x , b . Para descobrirmos qual deles tem a raiz é só fazermos f a ∙ f x e analisar se o valor é maior ou menor que zero. Se o resultado desse produto for menor que zero, a raiz está aí a , x ! Se for maior, a raiz ta no intervalo x , b . Então, esse nosso novo (e menor) intervalo vai passar a ser o novo a , b e vamos repetindo o processo! Muita informação??? Vamos fazer juntos esse algoritmo agora!

O nosso intervalo que contém a raiz é o [ 0 ,   5 ] , certo?

Vamos fazer agora 1ª iteração utilizando

a + b 2 =   x k

Substituindo os valores,

x 1 = 0 + 5 2 = 2,5

Beleza?!

Agora vamos partir o nosso intervalo inicial [ 0,5 ] em dois intervalos:

[ 0 ,   2.5 ]

E

[ 2.5 ,   5 ]

Show de bola?!

Agora em qual desses dois intervalos está a minha raiz? Vamos aplicar o teorema de Bolzano para saber!!

Aplicando o teorema de Bolzano no intervalo [ 0 ,   2.5 ]

Temos que

f 0 = - 2

E

f 2.5 = ( 2.5 ) 3 - 3 2.5 2 + 4 ( 2.5 ) - 2 = 4.875

Assim, fazendo

f 0 ∙ f 2,5 = - 2 ∙ 4.875 = - 9.75

OPA! A multiplicação deu um valor menor do que zero! O teorema de Bolzano então nos garante que existe pelo menos uma raiz entre o intervalo [ 0 ,   2.5 ] .

Logo, o próximo intervalo a ser adotado no processo reiterado do método citado é o [ 0 ,   2.5 ]

Nossa resposta é a letra A!

Resposta

L e t r a   A

Exercícios Resolvidos de Método da Bisseção