Utilize o método da Bisseção para estimar a raiz da função . Utilize a precisão de
Passo 1
Fala Aííí!! Como podemos atacar esse exercício? Nós precisamos utilizar o método da bisseção, certo?! Belê, mas como vamos fazer isso? Primeiro damos uma aproximação inicial para a raiz dentro de um intervalo, aí nós vamos refinando através de processos iterativos. Vamos ver como vai funcionar na prática?
Passo 2
A primeira coisa que vamos fazer é localizar um intervalo que contenha a raiz da função (que será nosso pontapé inicial). Esse intervalo costuma ser uma estimativa bem grosseira, que vai passar pelo processo de refinamento pra diminuir e ficar bem pequenininho. Beleza?!
Vamos então começar chutando um intervalo que vai de a .
Mas é só chutar o intervalo?!
Não!! Precisamos aplicar o Teorema de Bolzano para verificar se esse intervalo de fato contém uma raiz. Assim, aplicando o teorema de Bolzano no intervalo , temos
E
Assim, fazendo
OPA! A multiplicação deu um valor menor do que zero! O teorema de Bolzano então nos garante que existe pelo menos uma raiz entre o intervalo .
Show de bola?!
Passo 3
Depois que escolhemos as aproximações iniciais para o intervalo na primeira fase, começamos o processo de iterações (onde cada bateria de cálculo conta como uma iteração) para melhorarmos varias vezes até encontrar uma aproximação próxima da raíz real.
Tá... mas como vamos refinar o resultado aqui no método da Bisseção?
Aqui no método da bisseção o algoritmo é o seguinte:
Tiramos a média entre os dois pontos do intervalo e vemos onde está a raiz. Bem simples né?
Por exemplo, se temos um intervalo , fazemos:
Agora ficamos com dois intervalos de tamanhos iguais, e . Para descobrirmos qual deles tem a raiz é só fazermos e analisar se o valor é maior ou menor que zero. Se o resultado desse produto for menor que zero, a raiz está aí ! Se for maior, a raiz ta no intervalo . Então, esse nosso novo (e menor) intervalo vai passar a ser o novo e vamos repetindo o processo! Muita informação??? Vamos fazer juntos esse algoritmo agora!
O nosso intervalo que contém a raiz é o , certo?
Vamos fazer agora 1ª iteração utilizando
Substituindo os valores,
Beleza?!
Agora vamos partir o nosso intervalo inicial em dois intervalos:
E
Show de bola?!
Agora em qual desses dois intervalos está a minha raiz? Vamos aplicar o teorema de Bolzano para saber!!
Aplicando o teorema de Bolzano no intervalo
Temos que
E
Assim, fazendo
OPA! A multiplicação deu um valor maior do que zero, então não podemos garantir que temos raiz nesse intervalo.
Vamos então analisar no segundo intervalo
Assim, aplicando o terorema de Bolzano, temos
E
Assim, fazendo
OPA! A multiplicação deu um valor menor do que zero! O teorema de Bolzano então nos garante que existe pelo menos uma raiz entre o intervalo .
Show de bola?!
Passo 4
Beleza... Conseguimos refinar um pouco o nosso intervalo com esse método iterativo da Bisseção, mas como eu sei que estou próximo o suficiente do valor real? Aí que entram os critérios de parada.
O que vamos fazer aqui é fazer a diferença entre os extremos do intervalo e verificar se ele é menor do que a precisão dada no enunciado . Ou seja,
Substituindo os valores, temos
OPA! Assim, como o nosso intervalo está menor do que o erro, podemos parar por aqui e dar como resposta o intervalo . Uma aproximação possível para a raiz é o valor