Utilize o método da Bisseção para estimar a raiz da função f x = x 3 - 3 x - 1 . Utilize a precisão de ε = 0.61

Passo 1

Fala Aííí!! Como podemos atacar esse exercício? Nós precisamos utilizar o método da bisseção, certo?! Belê, mas como vamos fazer isso? Primeiro damos uma aproximação inicial para a raiz dentro de um intervalo, aí nós vamos refinando através de processos iterativos. Vamos ver como vai funcionar na prática?

Passo 2

A primeira coisa que vamos fazer é localizar um intervalo que contenha a raiz da função (que será nosso pontapé inicial). Esse intervalo costuma ser uma estimativa bem grosseira, que vai passar pelo processo de refinamento pra diminuir e ficar bem pequenininho. Beleza?!

Vamos então começar chutando um intervalo que vai de - 1 a 0 .

[ - 1 ,   0 ]

Mas é só chutar o intervalo?!

Não!! Precisamos aplicar o Teorema de Bolzano para verificar se esse intervalo de fato contém uma raiz. Assim, aplicando o teorema de Bolzano no intervalo [ - 1 ,   0 ] , temos

f - 1 = 1

E

f 0 = - 1

Assim, fazendo

f - 1 ∙ f 0 = 1 ∙ ( - 1 ) = - 1

OPA! A multiplicação deu um valor menor do que zero! O teorema de Bolzano então nos garante que existe pelo menos uma raiz entre o intervalo [ - 1 ,   0 ] .

Show de bola?!

Passo 3

Depois que escolhemos as aproximações iniciais para o intervalo na primeira fase, começamos o processo de iterações (onde cada bateria de cálculo conta como uma iteração) para melhorarmos varias vezes até encontrar uma aproximação próxima da raíz real.

Tá... mas como vamos refinar o resultado aqui no método da Bisseção?

Aqui no método da bisseção o algoritmo é o seguinte:

Tiramos a média entre os dois pontos do intervalo e vemos onde está a raiz. Bem simples né?

Por exemplo, se temos um intervalo a , b , fazemos:

a + b 2 =   x k

Agora ficamos com dois intervalos de tamanhos iguais, a , x e x , b . Para descobrirmos qual deles tem a raiz é só fazermos f a ∙ f x e analisar se o valor é maior ou menor que zero. Se o resultado desse produto for menor que zero, a raiz está aí a , x ! Se for maior, a raiz ta no intervalo x , b . Então, esse nosso novo (e menor) intervalo vai passar a ser o novo a , b e vamos repetindo o processo! Muita informação??? Vamos fazer juntos esse algoritmo agora!

O nosso intervalo que contém a raiz é o [ - 1 ,   0 ] , certo?

Vamos fazer agora 1ª iteração utilizando

a + b 2 =   x k

Substituindo os valores,

x 1 = - 1 + 0 2 = - 0,5

Beleza?!

Agora vamos partir o nosso intervalo inicial [ - 1 ,   0 ] em dois intervalos:

[ - 1 , ; - 0,5 ]

E

[ - 0,5 ;   0 ]

Show de bola?!

Agora em qual desses dois intervalos está a minha raiz? Vamos aplicar o teorema de Bolzano para saber!!

Aplicando o teorema de Bolzano no intervalo [ - 1 , ; - 0,5 ]

Temos que

f - 1 = - 1 3 - 3 ( - 1 ) - 1 = 1

E

f - 0,5 = - 0,5 3 - 3 ( - 0,5 ) - 1 = 0,375

Assim, fazendo

f - 1 ∙ f - 0,5 = 1 ∙ ( 0,375 ) = 0,375

OPA! A multiplicação deu um valor maior do que zero, então não podemos garantir que temos raiz nesse intervalo.

Vamos então analisar no segundo intervalo

[ - 0,5 ;   0 ]

Assim, aplicando o terorema de Bolzano, temos

f - 0,5 = - 0,5 3 - 3 ( - 0,5 ) - 1 = 0,375

E

f 0 = 0 3 - 3 0 - 1 = - 1

Assim, fazendo

f - 0,5 ∙ f 0 = 0,375 ∙ - 1 = - 0,375

OPA! A multiplicação deu um valor menor do que zero! O teorema de Bolzano então nos garante que existe pelo menos uma raiz entre o intervalo [ - 0,5 ;   0 ] .

Show de bola?!

Passo 4

Beleza... Conseguimos refinar um pouco o nosso intervalo com esse método iterativo da Bisseção, mas como eu sei que estou próximo o suficiente do valor real? Aí que entram os critérios de parada.

O que vamos fazer aqui é fazer a diferença entre os extremos do intervalo e verificar se ele é menor do que a precisão dada no enunciado ε = 0.61 . Ou seja,

b - a < ε

Substituindo os valores, temos

0 - - 0,5 < ε

0,5 < 0,61

OPA! Assim, como o nosso intervalo está menor do que o erro, podemos parar por aqui e dar como resposta o intervalo [ - 0,5 ;   0 ] . Uma aproximação possível para a raiz é o valor

x - ≅ - 0,5

Resposta

x - ≅ - 0,5

Exercícios Resolvidos de Método da Bisseção