Seja a equação . Pelo Teorema do Bolzano é fácil verificar que existe pelo menos uma raiz real no intervalo . Utilize o método da Bisseção com duas iterações para estimar a raiz desta equação.
Passo 1
Vamos láá!! Nesse exercício precisamos utilizar o método da bisseção com duas iterações, certo?! Belê, mas como vamos fazer isso? Primeiro damos uma aproximação inicial para a raiz dentro de um intervalo, aí nós vamos refinando através de das duas iterações pedidas no enunciado.
Passo 2
O enunciado já nos diz que no intervalo temos uma raiz real. O que precisamos fazer então é comçar o processo de iterações!!
Aqui no método da bisseção o algoritmo é o seguinte:
Tiramos a média entre os dois pontos do intervalo e vemos onde está a raiz. Bem simples né?
Por exemplo, se temos um intervalo , fazemos:
Agora ficamos com dois intervalos de tamanhos iguais, e . Para descobrirmos qual deles tem a raiz é só fazermos e analisar se o valor é maior ou menor que zero. Se o resultado desse produto for menor que zero, a raiz está aí ! Se for maior, a raiz ta no intervalo . Então, esse nosso novo (e menor) intervalo vai passar a ser o novo e vamos repetindo o processo! Muita informação??? Vamos fazer juntos esse algoritmo agora!
Passo 3
O nosso intervalo que contém a raiz é o , certo?
Vamos fazer agora 1ª iteração utilizando
Substituindo os valores,
Beleza?!
Agora vamos partir o nosso intervalo inicial em dois intervalos:
E
Show de bola?!
Agora em qual desses dois intervalos está a minha raiz? Vamos aplicar o teorema de Bolzano para saber!!
Aplicando o teorema de Bolzano no intervalo
Temos que
E
Assim, fazendo
OPA! A multiplicação deu um valor maior do que zero, então não podemos garantir que temos raiz nesse intervalo.
Vamos então analisar no segundo intervalo
Assim, aplicando o terorema de Bolzano, temos
E
Assim, fazendo
OPA! A multiplicação deu um valor menor do que zero! O teorema de Bolzano então nos garante que existe pelo menos uma raiz entre o .
Show de bola?!
Passo 4
Vamos agora para a segunda iteração! Temos que o nosso intervalo agora é o
Vamos fazer agora 2ª iteração utilizando
Substituindo os valores,
Beleza?!
Agora vamos partir o nosso intervalo inicial em dois intervalos:
E
Show de bola?!
Agora em qual desses dois intervalos está a minha raiz? Vamos aplicar o teorema de Bolzano para saber!!
Aplicando o teorema de Bolzano no intervalo
Temos que
E
Assim, fazendo
OPA! A multiplicação deu um valor menor do que zero! O teorema de Bolzano então nos garante que existe pelo menos uma raiz no intervalo .
Uma aproximação possível para a raiz é o valor
Logo, a nossa resposta é a letra A!
Show de bola?!