Seja a equação 3 x 3 - 5 x 2 + 1 = 0 . Pelo Teorema do Bolzano é fácil verificar que existe pelo menos uma raiz real no intervalo ( 0,1 ) . Utilize o método da Bisseção com duas iterações para estimar a raiz desta equação.

  1. 0,625
  2. 0,500
  3. 0,750
  4. 0,715
  5. 0,687

Passo 1

Vamos láá!! Nesse exercício precisamos utilizar o método da bisseção com duas iterações, certo?! Belê, mas como vamos fazer isso? Primeiro damos uma aproximação inicial para a raiz dentro de um intervalo, aí nós vamos refinando através de das duas iterações pedidas no enunciado.

Passo 2

O enunciado já nos diz que no intervalo   ( 0,1 ) temos uma raiz real. O que precisamos fazer então é comçar o processo de iterações!!

Aqui no método da bisseção o algoritmo é o seguinte:

Tiramos a média entre os dois pontos do intervalo e vemos onde está a raiz. Bem simples né?

Por exemplo, se temos um intervalo a , b , fazemos:

a + b 2 =   x k

Agora ficamos com dois intervalos de tamanhos iguais, a , x e x , b . Para descobrirmos qual deles tem a raiz é só fazermos f a ∙ f x e analisar se o valor é maior ou menor que zero. Se o resultado desse produto for menor que zero, a raiz está aí a , x ! Se for maior, a raiz ta no intervalo x , b . Então, esse nosso novo (e menor) intervalo vai passar a ser o novo a , b e vamos repetindo o processo! Muita informação??? Vamos fazer juntos esse algoritmo agora!

Passo 3

O nosso intervalo que contém a raiz é o ( 0,1 ) , certo?

Vamos fazer agora 1ª iteração utilizando

a + b 2 =   x k

Substituindo os valores,

x 1 = 0 + 1 2 = 0,5

Beleza?!

Agora vamos partir o nosso intervalo inicial ( 0 ,   1 ) em dois intervalos:

( 0 ; 0,5 )

E

( 0,5 ; 1 )

Show de bola?!

Agora em qual desses dois intervalos está a minha raiz? Vamos aplicar o teorema de Bolzano para saber!!

Aplicando o teorema de Bolzano no intervalo ( 0 ; 0,5 )

Temos que

f 0 = 3 0 3 - 5 ( 0 ) 2 + 1 = 1

E

f 0,5 = 3 0,5 3 - 5 0,5 2 + 1 = 0,125

Assim, fazendo

f 0 ∙ f 0,5 = 1 ∙ ( 0,125 ) = 0,125

OPA! A multiplicação deu um valor maior do que zero, então não podemos garantir que temos raiz nesse intervalo.

Vamos então analisar no segundo intervalo

( 0,5 ; 1 )

Assim, aplicando o terorema de Bolzano, temos

f 0,5 = 3 0,5 3 - 5 0,5 2 + 1 = 0,125

E

f 1 = 3 1 3 - 5 1 2 + 1 = - 1

Assim, fazendo

f 0,5 ∙ f 1 = 0,125 ∙ - 1 = - 0,125

OPA! A multiplicação deu um valor menor do que zero! O teorema de Bolzano então nos garante que existe pelo menos uma raiz entre o ( 0,5 ; 1 ) .

Show de bola?!

Passo 4

Vamos agora para a segunda iteração! Temos que o nosso intervalo agora é o   0,5 ; 1

Vamos fazer agora 2ª iteração utilizando

a + b 2 =   x k

Substituindo os valores,

x 1 = 0,5 + 1 2 = 0,75

Beleza?!

Agora vamos partir o nosso intervalo inicial ( 0 ,   1 ) em dois intervalos:

( 0,5 ; 0,75 )

E

( 0,75 ; 1 )

Show de bola?!

Agora em qual desses dois intervalos está a minha raiz? Vamos aplicar o teorema de Bolzano para saber!!

Aplicando o teorema de Bolzano no intervalo ( 0,5 ; 0,75 )

Temos que

f 0,5 = 3 0,5 3 - 5 0,5 2 + 1 = 0,125

E

f 0,75 = 3 0,75 3 - 5 0,75 2 + 1 = - 0,55

Assim, fazendo

f 0,5 ∙ f 0,75 = 0,125 ∙ - 0,55 = - 0,068

OPA! A multiplicação deu um valor menor do que zero! O teorema de Bolzano então nos garante que existe pelo menos uma raiz no intervalo ( 0,5 ; 0,75 ) .

Uma aproximação possível para a raiz é o valor

x - = 0,5 + 0,75 2 = 0,625

Logo, a nossa resposta é a letra A!

Show de bola?!

Resposta

L e t r a   A

Exercícios Resolvidos de Método da Bisseção