Seja a função f x = x 2 - 5 x + 4 . Considere o método da Bisseção para cálculo da raiz, e o intervalo [ 0 ,   3 ] o escolhido para a busca. Assim, empregando o método, na iteração seguinte, a raiz deverá ser pesquisada no intervalo:

  1. 3 2 ,   3
  2. 0 , 3 2
  3. [ 0 ,   3 ]
  4. 1 ,   3
  5. [ 1 ,   2 ]

Passo 1

Vamos lááá!! A primeira coisa que vamos fazer é aplicar o Teorema de Bolzano para verificar se o intervalo dado no enunciado de fato contém uma raiz. Assim, aplicando o teorema de Bolzano no intervalo [ 0 ,   3 ] , temos

f x = x 2 - 5 x + 4

Assim,

f 0 = 4

E

f 3 = - 2

Assim, fazendo

f 0 ∙ f 3 = 4 ∙ ( - 2 ) = - 8

OPA! A multiplicação deu um valor menor do que zero! O teorema de Bolzano então nos garante que existe pelo menos uma raiz entre o intervalo [ 0 ,   3 ] .

Show de bola?!

Passo 2

Agora precisamos começar o processo de iteração!

Aqui no método da bisseção o algoritmo é o seguinte:

Tiramos a média entre os dois pontos do intervalo e vemos onde está a raiz. Bem simples né?

Por exemplo, se temos um intervalo a , b , fazemos:

a + b 2 =   x k

Agora ficamos com dois intervalos de tamanhos iguais, a , x e x , b . Para descobrirmos qual deles tem a raiz é só fazermos f a ∙ f x e analisar se o valor é maior ou menor que zero. Se o resultado desse produto for menor que zero, a raiz está aí a , x ! Se for maior, a raiz ta no intervalo x , b . Então, esse nosso novo (e menor) intervalo vai passar a ser o novo a , b e vamos repetindo o processo! Muita informação??? Vamos fazer juntos esse algoritmo agora!

O nosso intervalo que contém a raiz é o [ 0 ,   3 ] , certo?

Vamos fazer agora 1ª iteração utilizando

a + b 2 =   x k

Substituindo os valores,

x 1 = 0 + 3 2 = 3 2

Beleza?!

Agora vamos partir o nosso intervalo inicial [ 0,5 ] em dois intervalos:

0 , 3 2

E

3 2 ,   3

Show de bola?!

Agora em qual desses dois intervalos está a minha raiz? Vamos aplicar o teorema de Bolzano para saber!!

Aplicando o teorema de Bolzano no intervalo 0 , 3 2

Temos que

f 0 = 4

E

f 3 2 = 3 2 2 - 5 3 2 + 4 = - 5 4

Assim, fazendo

f 0 ∙ f 3 2 = 4 ∙ - 5 4 = - 5

OPA! A multiplicação deu um valor menor do que zero! O teorema de Bolzano então nos garante que existe pelo menos uma raiz entre o intervalo 0 , 3 2 .

Logo, o próximo intervalo a ser adotado no processo reiterado do método citado é o 0 , 3 2

Nossa resposta é a letra A!

Resposta

L e t r a   B

Exercícios Resolvidos de Método da Bisseção