Considere o método da Posição Falsa para determinar a raiz positiva da função f x = x 2 - 1 no intervalo [ 0 ,   2 ] com precisão ε = 0.7

Passo 1

Vamos láá!! No método da Bisseção nós vimos um algoritmo nada refinado né? Era só ir tirando a média haha, o que fazia com que perdêssemos um tempinho. Aqui a conta é um pouquinho mais complexa. No método da Posição Falsa vamos encontrar nossa estimativa x de cada iteração fazendo:

x = a f b - b f a f b - f a

Beleza?! De resto é tudo igual!! Continuamos as iterações até que o critério de parada seja atingido!

Vamos então pras continhas?!

Passo 2

No método da Falsa posição utilizamos o

x 1 = a 0 f b 0 - b 0 f a 0 f b 0 - f a 0

Substituindo os valores, temos

x 1 = 0 ( - 1 ) - 2 ( 3 ) ( - 1 ) - ( 3 )

Fazendo as continhas, temos que

x 1 = 3 2 = 1.5

Show de bola?!

Agora podemos dividir em 2 intervalos

0 ,   1.5

E

1.5 ,   2

Precisamos agora verificar qual desses dois intervalos contém uma raiz e para isso vamos utilizar o teorema de Bolzano. Esse teorema diz que se acontecer o caso de f a . f b < 0 , dizemos que existe pelo menos uma raiz com valor igual a ξ ( x = ξ ) entre o intervalo [a,b].

f a 0 = f 0 = - 1

e

f x 1 = f 1.5 = 1.25

Assim,

f a 0 ∙ f x 1 = f 0 ∙ f 1.5 = - 1 ∙ 1.25 = - 1.25

Opa! A multiplicação deu um valor menor do que zero! O teorema de Bolzano então nos garante que existe pelo menos uma raiz entre o intervalo   a 1 , b 1 = 0 ,   1.5 .

Já podemos parar? Vamos verificar se atingimos o nosso critério de parada!?!

Critério de Parada:

b 1 - a 1 = 1.5 - 0 = 1.5 > 0.7

f a 1 = - 1 > 0.7

f b 1 = 1.25 > 0.7

Como não alcançamos o critério de parada continuamos as iterações. Agora utilizando o intervalo

a 1 , b 1 = 0 ,   1.5

Passo 3

Vamos para a 2ª iteração, utilizando o intervalo

a 1 , b 1 = 0 ,   1.5

Então

x 2 = a 1 f b 1 - b 1 f a 1 f b 1 - f a 1

Substituindo os valores, temos

x 2 = 0 ( 1.25 ) - 1.5 ( - 1 ) ( 1.25 ) - ( - 1 )

Fazendo as continhas, temos que

x 2 = 0.667

Show de bola?!

Agora podemos dividir em 2 intervalos

0 ,   0.667

E

0.667 ,   1.5

Precisamos agora verificar qual desses dois intervalos contém uma raiz, utilizando também o teorema de Bolzano. Começando pelo intervalo 0 ,   0.667 , temos

f a 1 = f 0 = - 1

e

f x 1 = f 0.667 = - 0.555111

Assim,

f a 1 ∙ f x 1 = f 0 ∙ f 0.667 = - 1 ∙ ( - 0.555111 ) = 0.555111

Opa! Temos como resposta um valor positivo, então a raiz não está nesse intervalo! Vamos verificar então no outro intervalo 0.667 ,   1.5

f x 1 = f 0.667 = - 0.555111

E

f b 1 = f 1.5 = 1.25

Assim,

f x 1 ∙ f b 1 = f 0.667 ∙ f 1.5 = - 0.555111 ∙ 1.25 = - 0.69388875

OPA! A multiplicação deu um valor menor do que zero! O teorema de Bolzano então nos garante que existe pelo menos uma raiz entre o intervalo   a 2   , b 2 = 0.667 ,   1.5 .

Já podemos parar? Vamos verificar se atingimos o nosso critério de parada!?!

Critério de Parada:

b 2 - a 2 = 1.5 - 0.667 = 0.833 > 0.7

f a 2 = - 0.555111 < 0.7

f b 2 = 1.25 > 0.7

Assim, alcançamos o critério de parada! Então nossa aproximação é x - = 0.667 .

Resposta

x - = 0.667

Exercícios Resolvidos de Método da Falsa Posição