Seja f x = x 3 + 3 x 2 - 1 com um zero no intervalo - 3 , - 2 . Calcule a raiz de f x com precisão de ε = 10 - 5 utilizando o método da posição falsa.

Passo 1

Vamos láá!! No método da Posição Falsa vamos encontrar nossa estimativa x de cada iteração fazendo:

x = a f b - b f a f b - f a

Beleza?! De resto é tudo igual ao método da Bisseção!! Continuamos as iterações até que o critério de parada seja atingido! No caso aqui a nossa precisão é de ε = 0.00001 !

Passo 2

Os valores iniciais dados no enunciado são - 3 e - 2 ! Logo, o nosso intervalo inicial é

A primeira coisa que vamos fazer é aplicar o Teorema de Bolzano para verificar se o intervalo dado no enunciado de fato contém uma raiz. Assim, aplicando o teorema de Bolzano no intervalo [ - 3 ,   - 2 ] , temos

f x = x 3 + 3 x 2 - 1

Assim,

f - 3 = - 1

E

f - 2 = 3

Assim, fazendo

f - 3 ∙ f - 2 = - 1 ∙ ( 3 ) = - 3

OPA! A multiplicação deu um valor menor do que zero! O teorema de Bolzano então nos garante que existe pelo menos uma raiz entre o intervalo - 3 ,   - 2 .

Passo 3

Agora vamos para o processo de iteração! No método da Falsa posição utilizamos o

x = a f b - b f a f b - f a

Substituindo os valores, temos

x = - 3 ( 3 ) - ( - 2 ) ( - 1 ) ( 3 ) - ( - 1 )

Fazendo as continhas, temos que

x ≅ - 2,75

Agora podemos dividir em dois intervalos:

[ - 3 ;   - 2,75 ]

E

[ - 2,75 ;   - 2 ]

Show de bola?!

Agora em qual desses dois intervalos está a minha raiz? Vamos aplicar o teorema de Bolzano para saber!!

Aplicando o teorema de Bolzano no intervalo [ - 3 ;   - 2,75 ] , temos

f - 3 = - 1

E

f - 2,75 = 0 , 890625

Assim,

f - 3 ∙ f - 2,75 = - 1 ∙ 0.890625 < 0

OPA! A multiplicação deu um valor menor do que zero! O teorema de Bolzano então nos garante que existe pelo menos uma raiz entre o intervalo - 3 ; - 2 , 75 .

Será que já alcançamos o nosso critério de parada?

Critério de Parada:

b 1 - a 1 = - 2,75 - - 3 = 0.25 > 0.00001

f a 1 = f - 3 = 1 > 0.00001

f b 1 = f - 2,75 = 0.890625 > 0.00001

Como não alcançamos o critério de parada, continuamos as iterações.

Passo 4

Vamos continuar com o mesmo raciocínio anterior, só que com o novo intervalo

a 1 , b 1 = - 3 , - 2.75

Iteração 2 :

x 2 = a 1 f b 1 - b 1 f a 1 f b 1 - f a 1 = - 2.867769

E assim podemos dividir em dois intervalos

- 3 , - 2,867769

E

- 2,867769 ,   - 2,75

Agora precisamos utilizar o teorema de Bolzano para encontrar em qual dos dois intervalos está a raiz. Fazendo os testes, verificamos que a raiz está no intervalo - 3 , - 2.867769 , pois

f a 1 = f - 3 = - 1

f x 2 = f - 2.867769 ≅ 0.087484

f a 1 ∙ f x 2 = - 1 ∙ 0.087484 < 0

Logo, nosso novo intervalo será formado por a 1 e x 2 . Temos então que:

a 2 , b 2 = a 1 , x 2 = - 3 , - 2.867769

Critério de Parada:

b 2 - a 2 = 0.132231 > 0.00001

f a 2 = 1 > 0.00001

f b 2 = 0.087484 > 0.00001

Como não alcançamos o critério de parada continuamos as iterações.

Passo 5

Agora estamos com o intervalo

a 2 , b 2 = - 3 , - 2.867769

Iteração 3 :

x 3 = a 2 f b 2 - b 2 f a 2 f b 2 - f a 2 = - 2.878406

f x 3 = f - 2.878406 ≅ 0.007432

f a 2 ∙ f x 3 = - 1 ∙ 0.007432 < 0

Logo, nosso novo intervalo será formado por a 2 e x 3 . Temos então que:

a 3 , b 3 = a 2 , x 3 = - 3 , - 2.878406

Critério de Parada:

b 3 - a 3 = 0.121594 > 0.00001

f a 3 = 1 > 0.00001

f b 3 = 0.007432 > 0.00001

Como não alcançamos o critério de parada continuamos as iterações.

Intervalo:

a 3 , b 3 = - 3 , - 2.878406

Iteração 4 :

x 4 = a 3 f b 3 - b 3 f a 3 f b 3 - f a 3 = - 2.879303

f x 4 = f - 2.879303 ≅ 0.000623

f a 3 ∙ f x 4 = - 1 ∙ 0.000623 < 0

Logo, nosso novo intervalo será formado por a 3 e x 4 . Temos então que:

a 4 , b 4 = a 3 , x 4 = - 3 , - 2.879303

Critério de Parada:

b 4 - a 4 = 0.120697 > 0.00001

f a 4 = 1 > 0.00001

f b 4 = 0.000623 > 0.00001

Como não alcançamos o critério de parada continuamos as iterações.

Intervalo:

a 4 , b 4 = - 3 , - 2.879303

Iteração 5 :

x 5 = a 4 f b 4 - b 4 f a 4 f b 4 - f a 4 = - 2.879378

f x 5 = f - 2.879378 ≅ 5.2 ∙ 10 - 5

f a 4 ∙ f x 5 = - 1 ∙ 5.2 ∙ 10 - 5 < 0

Logo, nosso novo intervalo será formado por a 4 e x 5 . Temos então que:

a 5 , b 5 = a 4 , x 5 = - 3 , - 2.879378

Critério de Parada:

b 5 - a 5 = 0.120622 > 0.00001

f a 5 = 1 > 0.00001

f b 5 = 5.2 ∙ 10 - 5 > 0.00001

Como não alcançamos o critério de parada continuamos as iterações.

a 5 , b 5 = - 3 , - 2.879378

ε 1 = ε 2 = 0.00001

Iteração 6 :

x 6 = a 5 f b 5 - b 5 f a 5 f b 5 - f a 5 = - 2.879385

f x 6 = f - 2.879385 ≅ 4 ∙ 10 - 6

f a 5 ∙ f x 6 = - 1 ∙ 4 ∙ 10 - 6 < 0

Logo, nosso novo intervalo será formado por a 5 e x 6 . Temos então que:

a 6 , b 6 = a 5 , x 6 = - 3 , - 2.879385

Critério de Parada:

b 6 - a 6 = 0.120615 > 0.00001

f a 6 = 1 > 0.00001

f b 6 = 4 ∙ 10 - 6 < 0.00001

Pronto, chegamos na aproximação com a precisão pedida. A raiz é então, com precisão de 10 - 5 , x - = - 2.879385 .

Resposta

x - = - 2.879385

Exercícios Resolvidos de Método da Falsa Posição