Seja a função f x = x 2 - 3 . Considere o método da Posição Falsa para determinar a raiz positiva com precisão ε = 0 . 1 .

Passo 1

Vamos láá!! No método da Bisseção nós vimos um algoritmo nada refinado né? Era só ir tirando a média haha, o que fazia com que perdêssemos um tempinho. Aqui a conta é um pouquinho mais complexa. No método da Posição Falsa vamos encontrar nossa estimativa x de cada iteração fazendo:

x = a f b - b f a f b - f a

Beleza?! De resto é tudo igual!! Continuamos as iterações até que o critério de parada seja atingido!

Vamos então pras continhas?!

Passo 2

Para o nosso chute inicial, vamos escolher o intervalo [ 0 ,   2 ] e ver se existe raiz nesse intervalo utilizando o teorema de Bolzano.

Assim, aplicando o teorema de Bolzano no intervalo [ 0 ,   2 ] , temos

f x = x 2 - 3

Assim,

f 0 = - 3

E

f 2 = 1

Assim, fazendo

f 0 ∙ f 2 = - 3 ∙ ( 1 ) = - 3

OPA! A multiplicação deu um valor menor do que zero! O teorema de Bolzano então nos garante que existe pelo menos uma raiz entre o intervalo   [ 0 ,   2 ] .

Passo 3

Agora vamos para o processo de iteração! No método da Falsa posição utilizamos o

x 1 = a 0 f b 0 - b 0 f a 0 f b 0 - f a 0

Substituindo os valores, temos

x 1 = 0 ( 1 ) - 2 ( - 3 ) ( 1 ) - ( - 3 )

Fazendo as continhas, temos que

x 1 = 3 2 = 1 . 5

Show de bola?!

Agora podemos dividir em 2 intervalos

0 ,   1 . 5

E

1.5 ,   2

Precisamos agora verificar qual desses dois intervalos contém uma raiz, utilizando também o teorema de Bolzano:

f a 0 = f 0 = - 3

e

f x 1 = f 1.5 = - 0.75

Assim,

f a 0 ∙ f x 1 = f 0 ∙ f 1.5 = - 3 ∙ ( - 0.75 ) = 2.25

Opa! Temos como resposta um valor positivo, então a raiz não está nesse intervalo! Vamos verificar então no outro intervalo 1.5 ,   2

f x 1 = f 1.5 = - 0.75

E

f b 0 = f 2 = 1

Assim,

f x 1 ∙ f b 0 = f 1.5 ∙ f 2 = - 0.75 ∙ 1 = - 0.75

OPA! A multiplicação deu um valor menor do que zero! O teorema de Bolzano então nos garante que existe pelo menos uma raiz entre o intervalo   a 1 , b 1 = 1.5 ,   2 .

Já podemos parar? Vamos verificar se atingimos o nosso critério de parada!?!

Critério de Parada:

b 1 - a 1 = 2 - 1.5 = 0.5 > 0 . 1

f a 1 = 0.75 > 0 . 1

f b 1 = 1 > 0 . 1

Como não alcançamos o critério de parada continuamos as iterações. Agora utilizando o intervalo

a 1 , b 1 = 1.5 ,   2

Passo 4

Vamos para a 2ª iteração, utilizando o intervalo

a 1 , b 1 = 1.5 ,   2

Então

x 2 = a 1 f b 1 - b 1 f a 1 f b 1 - f a 1

Substituindo os valores, temos

x 2 = 1.5 ( 1 ) - 2 ( - 0.75 ) ( 1 ) - ( - 0.75 )

Fazendo as continhas, temos que

x 2 = 1.714

Show de bola?!

Agora podemos dividir em 2 intervalos

1.5 ,   1 . 714

E

1 . 714 ,   2

Precisamos agora verificar qual desses dois intervalos contém uma raiz, utilizando também o teorema de Bolzano:

f a 1 = f 1.5 = - 0.7 5

e

f x 1 = f 1.714 = - 0.0622

Assim,

f a 1 ∙ f x 1 = f 1.5 ∙ f 1 . 714 = - 0.75 ∙ ( - 0.0622 ) = 0.04665

Opa! Temos como resposta um valor positivo, então a raiz não está nesse intervalo! Vamos verificar então no outro intervalo 1.714 ,   2

f x 1 = f 1,714 = - 0.0622

E

f b 1 = f 2 = 1

Assim,

f x 1 ∙ f b 1 = f 1,714 ∙ f 2 = - 0.0622 ∙ 1 = - 0.0622

OPA! A multiplicação deu um valor menor do que zero! O teorema de Bolzano então nos garante que existe pelo menos uma raiz entre o intervalo   a 2   , b 2 = 1.714 ,   2 .

Já podemos parar? Vamos verificar se atingimos o nosso critério de parada!?!

Critério de Parada:

b 2 - a 2 = 2 - 1 . 714 = 0 . 286 > 0.1

f a 2 = 0.0622 < 0.1

f b 2 = 1 > 0.1

Assim, alcançamos o critério de parada! Então nossa aproximação é x - = 1.714 .

Resposta

x - = 1.714

Exercícios Resolvidos de Método da Falsa Posição