Seja f x = - x 3 - cos ⁡ x com zero no intervalo - 1,0 . Use o método da posição falsa para encontrar uma aproximação para a raiz de f com precisão de 10 - 3 .

Passo 1

Vamos láá!! No método da Posição Falsa vamos encontrar nossa estimativa x de cada iteração fazendo:

x = a f b - b f a f b - f a

Beleza?! De resto é tudo igual ao método da Bisseção!! Continuamos as iterações até que o critério de parada seja atingido! No caso aqui a nossa precisão é de ε = 0.001 !

Passo 2

Os valores iniciais dados no enunciado são - 1 e 0 ! Logo, o nosso intervalo inicial é

A primeira coisa que vamos fazer é aplicar o Teorema de Bolzano para verificar se o intervalo dado no enunciado de fato contém uma raiz. Assim, aplicando o teorema de Bolzano no intervalo [ - 1 ,   0 ] , temos

f x = - x 3 - cos ⁡ x

Assim,

f - 1 = 0.4596

E

f 0 = - 1

Assim, fazendo

f - 1 ∙ f 0 = 0.4596 ∙ ( - 1 ) = - 0.4596

OPA! A multiplicação deu um valor menor do que zero! O teorema de Bolzano então nos garante que existe pelo menos uma raiz entre o intervalo - 1 ,   0 .

Passo 3

Agora vamos para o processo de iteração!

Iteração 1 :

Intervalo - 1 ,   0 :

x 1 = a 0 f b 0 - b 0 f a 0 f b 0 - f a 0 = 1 - 1.4596 = - 0.6851

Fazendo os testes, verificamos que a raiz está no intervalo - 1 , - 0.6851 , pois

f x 1 = f - 0.6851 ≅ - 0.4529

Assim, pelo teorema de Bolzano,

f a 0 ∙ f x 1 = 0.4597 ∙ - 0.4529 < 0

Logo, temos uma raiz no intervalo - 1 , - 0.6851 !

Já podemos parar? Vamos ver se atingimos o critério de parada?!

Critério de Parada:

b 1 - a 1 = - 0.6851 - - 1 = 0.3149 > 0.001

f a 1 = 0.4597 > 0.001

f b 1 = 0.4529 > 0.001

Como não alcançamos o critério de parada continuamos as iterações. Agora utilizando o intervalo

a 1 , b 1 = - 1 , - 0.6851

Passo 4

Iteração 2 :

Agora estamos utilizando o intervalo

a 1 , b 1 = - 1 , - 0.6851

Assim, vamos encontrar o x 2 :

x 2 = a 1 f b 1 - b 1 f a 1 f b 1 - f a 1 = 0.7678 - 0.9125 = - 0.8414

Fazendo os testes, verificamos que a raiz está no intervalo - 1 , - 0.8414 , pois

f x 2 = f - 0.8414 ≅ - 0.0709

Assim, pelo teorema de Bolzano,

f a 1 ∙ f x 2 = 0.4597 ∙ - 0.0709 < 0

Logo, nosso novo intervalo será formado por a 1 e x 2 . Temos então que:

a 2 , b 2 = a 1 , x 2 = - 1 , - 0.8414

Beleza?! Vamos verificar o critério de parada?!

Critério de Parada:

b 2 - a 2 = - 0.8414 - - 1 = 0.1586 > 0.001

f a 2 = 0.4597 > 0.001

f b 2 = 0.0709 > 0.001

Como não alcançamos o critério de parada continuamos as iterações.

Passo 5

Iteração 3 :

Agora estamos utilizando o intervalo

a 2 , b 2 = - 1 , - 0.8414

Precisamos então encontrar o x 3

x 3 = a 2 f b 2 - b 2 f a 2 f b 2 - f a 2 = 0.4576 - 0.5306 = - 0.8625

Fazendo os testes, verificamos que a raiz está no intervalo - 1 , - 0.8625 , pois

f x 3 = f - 0.8625 ≅ - 0.0088

Assim, pelo teorema de bolzano

f a 2 ∙ f x 3 = 0.4597 ∙ - 0.0088 < 0

Logo, nosso novo intervalo será formado por a 2 e x 3 . Temos então que:

a 3 , b 3 = a 2 , x 3 = - 1 , - 0.8625

Critério de Parada:

b 3 - a 3 = - 0.8625 - - 1 = 0.1374 > 0.001

f a 3 = 0.4597 > 0.001

f b 3 = 0.0088 > 0.001

Como não alcançamos o critério de parada continuamos as iterações.

Passo 6

Intervalo:

a 3 , b 3 = - 1 , - 0.8625

Iteração 4 :

x 4 = a 3 f b 3 - b 3 f a 3 f b 3 - f a 3 = 0.4053 - 0.4685 = - 0.8651

Fazendo os testes, verificamos que a raiz está no intervalo - 1 , - 0.8651 , pois

f x 4 = f - 0.8651 ≅ - 0.0012

Com o teorema de Bolzano

f a 3 ∙ f x 4 = 0.4597 ∙ - 0.0010 < 0

Logo, nosso novo intervalo será formado por a 3 e x 4 . Temos então que:

a 4 , b 4 = a 3 , x 4 = - 1 , - 0.8651

Critério de Parada:

b 4 - a 4 = - 0.8651 - - 1 = 0.1349 > 0.001

f a 4 = 0.4597 > 0.001

f b 4 = 0.0012 > 0.001

Como não alcançamos o critério de parada continuamos as iterações.

Passo 7

Intervalo:

a 4 , b 4 = - 1 , - 0.8651

Iteração 5 :

x 5 = a 4 f b 4 - b 4 f a 4 f b 4 - f a 4 = 0.3987 - 0.4608 = - 0.8654

Fazendo os testes, verificamos que a raiz está no intervalo - 1 , - 0.8654 , pois

f x 5 = f - 0.8654 ≅ - 0.0001

Pelo Teorema de Bolzano,

f a 4 ∙ f x 5 = 0.4597 ∙ - 0.0001 < 0

Logo, nosso novo intervalo será formado por a 4 e x 5 . Temos então que:

a 5 , b 5 = a 4 , x 5 = - 1 , - 0.8654

Critério de Parada:

b 5 - a 5 = - 0.8654 - - 1 = 0.1346 > 0.00001

f a 5 = 0.4597 > 0.001

f b 5 = 0.0001 < 0.001

Beleza, alcançamos o critério de parada! Então nossa aproximação é x - = - 0.8654 .

Resposta

x - = - 0.8654

Exercícios Resolvidos de Método da Falsa Posição