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Exercícios Resolvidos de Método de Euler

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Enunciado

Calcule y ( 1 ) para y ' = y - x ; y 0 = 2 utilizando Euler com h = 0,2 . Compare seus resultados com os valores exatos de y ( x ) nos pontos x i , sabendo que y ( x ) = e x + x + 1

Passo 1

Temos essa EDO para analisar:

f x , y = y ' = y - x

Onde:

y 0 = 2 e h = 0,2 . E queremos y ( 1 ) .

Aqui vamos usar Euler de passo 0,2 . Vamos montar uma tabelinha com os x :

Logo, pela tabela, podemos encontrar uma relação entre x n . Percebemos que podemos escrever o seguinte:

x n = 0,2 n

Isso, porque os valores de x são apenas múltiplos de 0,2 .

Lembramos da fórmula de recorrência:

y n + 1 = y n + h f x , y

Nesse caso temos:

f x , y = y - x

y 0 = 2

h = 0,2

Passo 2

A fórmula de recorrência fica:

y n + 1 = y n + 0,2 y n - x n

Substituindo x n :

y n + 1 = y n + 0,2 y n - n ⋅ 0,2

y n + 1 = 1,2 y n - 0.04 ⋅ n

Daí ficamos com:

y 0,2 = 1,2 ⋅ 2 = 2,4

E, aplicando sucessivamente a recorrência para os outros valores de x , vamos obter:

Agora, vamos comparar com os valores reais da função y ( x ) = e x + x + 1 :

Logo o y ( 1 ) calculado é 4.48832 . Veja que os valores Método de Euler crescem mais devagar que os reais

Resposta

y 1 = 4.48832

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