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Exercícios Resolvidos de Método de Euler

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Enunciado

Considere o PVI:

{ y ' = y 2 - 1 x 2 + 1   y 0 = 1  

Calcule aproximações para y ( 1 ) , usando o método de Euler com h = 0,2 e h = 0,25 :

Passo 1

Aqui vamos nós. Nessa questão está pedindo para calcular usar Euler com as seguintes configurações

f x , y = y 2 - 1 x 2 + 1

y 0 = 1

h = 0,2 e h = 0,25

Passo 2

Vamos tentar generalizar as coisas antes, já que estamos lidando com dois passos diferentes. Se liga:

x n = n h

Ou seja, um dado ponto x n é obtido através de n vezes o valor do passo. Essa expressão é válida para qualquer passo.

Temos que :

f x , y = y ' = y 2 - 1 x 2 + 1

A fórmula de recorrência fica:

y n + 1 = y n + h y n 2 - 1 n 2 h 2 + 1

Mas pera aí:

y 0 = 1

Logo:

y 0 + 1 = y 0 + h y 0 2 - 1 n 2 h 2 + 1

y 1 = 1 + h 1 - 1 n 2 h 2 + 1 = 1

y 1 = 1 + 0 n 2 h 2 + 1 = 1

Do mesmo jeito teremos podemos calcular y 2 :

y 1 + 1 = y 1 + h y 1 2 - 1 n 2 h 2 + 1

y 2 = 1 + h 1 - 1 n 2 h 2 + 1 = 1

y 2 = 1

Percebeu o que está acontecendo? Calculamos y 0 , y 1 e y 2 e todos deram 1. Se quiséssemos calcular y 3 como y 2 = 1 o resultado seria o mesmo! Já que o termo y n depende do anterior y n - 1 podemos concluir que se trata de uma função constante!!

Normalmente, para resolver esse tipo de questão, o natural seria continuar o processo até que um y n que fosse referente ao ponto   x = 1 que é o que deseja avaliar.

Para o passo h = 0,2 teríamos que ir até o y 5 , pois para n = 5 teríamos:

  x = 5 h = 5 * 0,2 = 1  

Para o passo h=0,25, teríamos que ir até o y 4 , pois para n = 4 , teríamos:

x = 4 h = 4 * 0,25 = 1  

Mas que como nesse caso, todos os y darão o mesmo valor, a aproximação y será igual a   y 0 = 1 , não importando o passo, pois o Método de Euler devolve uma função constante.

Legal né?(:

Resposta

y 1 = 1 em ambos os casos

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