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Exercícios Resolvidos de Método de Euler

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Enunciado

Um indivíduo está recebendo uma injeção intravenosa de glicose na taxa constante de c m g m i n . É um fato biológico que, dentro de certos limites, o corpo utiliza a glicose em uma taxa proporcional à sua concentração na corrente sanguínea. A EDO que modela esta situação é: y ' t = c V - k y , onde V é o volume de sangue no corpo do indivíduo, consideraremos que a quantidade de glicose injetada não altera V apreciavelmente. A mudança da concentração de glicose no sangue é o resultado de dois fatores: um aumento devido à injeção intravenosa permanente e a redução devida à retirada da glicose sanguínea pelo corpo. Em um tempo t qualquer, a taxa de mudança de concentração devida à injeção intravenosa permanente é c V , e a taxa de mudança de concentração devida aos processos metabólicos é −𝑘𝑦, para alguma constante k positiva. Supondo c = 12   m g / m i n , V = 5 l e k = 0.12 , como calcular, pelo método de Euler, a concentração de glicose entre 10 e 14 minutos com y 0 = 12.5 𝑒 h   =   1 ?

Passo 1

A EDO já tá separadinha pra gente, f t , y do lado direito da igualdade e a derivada do lado esquerdo. Então o que a gente precisa agora é escrever a equação do Método de Euler adaptadas ao problema. Bora substituir as constantes que o professor deu!

y ' t = 12 5 - 0.12 y = 2.4 - 0.12 y

A fórmula de Euler geral é essa aqui:

y t + h = y t + h * f ( t , y )

Nós sabemos que o passo h = 1 e f t , y = 2.4 - 0.12 y pra esse problema, então substituindo na fórmula geral, vamos ter:

y t + 1 = y t + ( 2.4 - 0.12 y ( t ) )

Show de bolinhas, vai ser tranquilo de resolver esse negócio!!

Passo 2

Bom a gente sabe que quando t = 10 , temos = 12.5 . Então substituindo esses valores na equação que acabamos de encontrar, olha como fica.

y t + 1 = y t + ( 2.4 - 0.12 y ( t ) )

y 11 = y 10 + ( 2.4 - 0.12 * y ( 10 ) )

y 11 = 12.5 + 2.4 - 0.12 * 12.5 = 13.40

Então sabemos agora que quando t = 11 , temos y = 13.40 . Com esses dados já podemos encontrar y ( 12 ) , é só aplicar novamente a equação adaptada, bora lá.

y 12 = y 11 + ( 2.4 - 0.12 * y ( 11 ) )

y 12 = 13.4 + 2.4 - 0.12 * 13.4 = 14.19

Bora achar o próximo, y 13 :

y 13 = y 12 + ( 2.4 - 0.12 * y ( 12 ) )

y 13 = 14.19 + 2.4 - 0.12 * 14.19 = 14.89

Tamo quase no final, falta achar agora somente o y ( 14 ) .

y 14 = y 13 + ( 2.4 - 0.12 * y ( 13 ) )

y 14 = 14.89 + 2.4 - 0.12 * 14.89 = 15.50

Resposta

y 11 = 13.40

y 12 = 14.19

y 13 = 14.89

y 14 = 15.50

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