Exercícios Resolvidos de Movimento Relativo: Velocidade

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Enunciado

2) Uma barra delgada e homogênea, de comprimento L e massa m , é articulada em O a uma distância d do seu centro de massa, estando restrita a mover-se no plano O x y , conforme ilustrado na figura.

a) Determine o momento de inércia J O Z   da barra.

b) Sabendo que a barra parte da posição angular θ 0 = π 2 com velocidade angular inicial ω 0 no sentido horário, determine o menor valor de ω 0 em módulo, para que a barra não mude o sentido de rotação

Passo 1

Ooi gente bonita, como vocês estão?

a) Bom, para começar precisamos calcular o momento de inércia da barra em relação ao eixo O z . O legal é que a questão facilita bastante o nosso trabalho, pois já nos dá o valor do momento de inércia no C.G da barra.

Daí, podemos usar nosso querido teorema de Steirnerm. Como a distância entre o nosso C.G e o eixo 0 z vale d , temos que:

J O z = m l 2 12 + m d 2

Prontinho, essa foi rapidinha. Bora pra próxima.

Passo 2

b) Primeiro vamos entender o que a questão está nos pedindo. Imagina que a barra começa a realizar o movimento de rotação dela em torno do ponto O , existem duas possibilidades possíveis: Ou a barra consegue realizar uma rotação completa e permanece girando no sentido horário, ou ela não tem energia suficiente e em algum momento da volta ela vai inverter o seu sentido de giro.

Nesse item, devemos calcular o menor valor de ω 0 para que ela consiga realizar uma oscilação completa, ou seja, não inverta o sentido do giro. Beleza? Pegaram a ideia?

Ou seja pessoal, esse é um problema de energia. A barra precisa ter energia inicial suficiente. Sendo assim, vamos utilizar o teorema da energia cinética para a barra. Nesse caso, a única força fazendo trabalho é o próprio peso da barra.

Daí, vamos ter a seguinte equação:

- m g d c o s θ = 1 2 J O z ⋅ ( ω 2 - ω 0 2 )

A condição para haver inversão de movimento, é termos ω = 0 . Isso, inclusive, é uma dica sempre questões perguntam sobre momentos de altura máxima, ou onde ocorre inversão de movimento, devemos ter ou a velocidade linear, ou a velocidade angular (ou ambas) iguais a zero.

Usando a nossa condição na equação, teremos:

- m g d c o s θ = 1 2 J O z ⋅ ( - ω 0 2 )

∴   ω 0 2 = 2 m g d c o s θ J O z = 24 g d c o s θ l 2 + 12 d 2

Agora é só tirar a raiz e correr pro abraço:

ω 0 = 24 g d c o s θ l 2 + 12 d 2

Esse é o menor valor possível de ω 0 que garante que a barra irá realizar a rotação completa, ou seja, não inverterá o sentido do movimento.

Resposta

a) J O z = m l 2 12 + m d 2

b) ω 0 = 24 g d c o s θ l 2 + 12 d 2

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