Exercícios Resolvidos de Movimento Relativo: Velocidade

Ver Teoria

Enunciado

No mecanismo de três barras mostrado, a haste de controle O A possui uma velocidade angular no sentido anti-horário ω 0 = 10   r a d / s durante um curto intervalo de movimento. Quando a haste C B ultrapassa a posição vertical mostrada, o ponto A possui as coordenadas x = - 60   m m e y = 80   m m . Determine por meio da álgebra vetorial as velocidades angulares de a )   A B e b )   B C .

Passo 1

Vamos começar pela barra O A , pois sabemos a sua velocidade angular. Repare que o ponto A gira em torno do ponto O , então podemos escrever:

v → A = ω → 0 × r → A / O

Sabemos que a velocidade angular da barra O A é no sentido anti-horário, então ela é positiva:

ω → 0 = 10 k ^   r a d / s

E o vetor posição r → A / O ?

Ao decompor o vetor r → A / O , temos:

r → A / O = - 0 , 0 6 i ^ + 0 , 0 8 j ^   m

Repare que a origem do eixo x y está em cima do ponto O !!!

Então, vamos ter que:

v → A = ω → 0 × r → A / O         →             v → A = 10 k ^   × - 0 , 0 6 i ^ + 0 , 0 8 j ^

Esse produto vetorial fica assim:

i ^ j ^ k ^ 0 0 10 - 0 , 0 6 0 , 0 8 0 = 0 10 0 , 0 8 0 i ^ - 0 10 - 0 , 0 6 0 j ^ + 0 0 - 0 , 0 6 0 , 0 8 k ^

ω → 0 × r → A / O = - 0 , 8 i ^ - 0 , 6 j ^

Então:

v → A = - 0 , 8 i ^ - 0 , 6 j ^   m / s

Passo 2

Agora vamos analisar a barra B C . Repare que o ponto B gira em torno do ponto C , então:

v → B = ω → B C × r → B / C

Nós não sabemos a velocidade angular da barra B C , então vamos arbitrar o sentido positivo:

ω → B C = ω B C k ^

E a posição r → B / C é:

r → B / C = 0,1 8 j ^   m

Vamos ter que:

v → B = ω → B C × r → B / C       →           v → B = ω B C k ^ × 0,1 8 j ^

Fazendo o produto vetorial vamos ter:

v → B = - 0,18 ω B C i ^

Passo 3

Agora vamos analisar a barra A B :

v → A = v → B + ω → A B × r → A / B

A velocidade angular da barra A B nós não sabemos, mas vamos arbitrar o sentido como positivo (anti-horário):

ω → A B = ω A B k ^

A posição r → A / B é:

r → A / B = - 0 , 24 i ^ - 0 , 10 j ^   m

Agora vamos substituir o já temos:

v → A = v → B + ω → A B × r → A / B            

- 0,8 i ^ - 0,6 j ^ = - 0,18 ω B C i ^ + ω A B k ^ × - 0,24 i ^ - 0,10 j ^  

O produto vetorial fica:

i ^ j ^ k ^ 0 0 ω A B - 0,24 - 0,10 0 = 0 ω A B - 0,10 0 i ^ - 0 ω A B - 0,24 0 j ^ + 0 0 - 0,24 - 0,10 k ^

ω → A B × r → A / B = 0,1 ω A B i ^ - 0,24 ω A B j ^

Então:

- 0,8 i ^ - 0,6 j ^ = - 0,18 ω B C i ^ + 0,1 ω A B i ^ - 0,24 ω A B j ^

Agora vamos somar os termos da mesma componente:

E m   x :           - 0,8 = - 0,18 ω B C + 0,1 ω A B

E m   y :         - 0,6 = - 0,24 ω A B

Da equação em y temos que:

- 0,6 = - 0,24 ω A B       →           ω A B = 2,5

Como achamos um valor positivo, significa que arbitramos o sentido certo para ω A B :

ω → A B = 2,5 k ^   r a d / s

Agora vamos usar a equação das componentes em x :

- 0,8 = - 0,18 ω B C + 0,1 ω A B         →             - 0,8 = - 0,18 ω B C + 0,1 ( 2,5 )

- 1,05 = - 0,18 ω B C

ω B C = 5,83

Como achamos um valor positivo, significa que arbitramos o sentido correto para ω B C :

ω → B C = 5,83 k ^   r a d / s

Resposta

a )   ω → A B = 2,5 k ^   r a d / s  

b ) ω → B C = 5,83 k ^   r a d / s

Exercícios de Livros Relacionados

60. Determine a velocidade do ponto A na borda da engrenagem no instante mostrado.
62. O pistão P se desloca para cima com uma velocidade de 7,5 m/s no instante mostrado. Determine a velocidade angular do eixo de manivela AB nesse instante.
5/64) A velocidade do centro da Terra enquanto orbita o sol é v = 107257k m / h e a velocidade angular absoluta da Terra em torno de seu eixo de rotação norte-sul é ω = 7,292 10 - 5 r a d / s . Utiliz
5/59) A extremidade A da haste possui a velocidade indicada no instante representado . A extremidade B está confinada a se deslocar na ranhura. Para esse instante calcule a velocidade de B e a velocid
5/68) A placa quadrada uniforme se desloca no plano x y e possui uma velocidade angular no sentido horário . No instante representado , o ponto A tem uma velocidade de 2 m / s para a direita , e a vel