Exercícios Resolvidos de Movimento Relativo: Velocidade

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Enunciado

A velocidade do cursor C é de 4 pés/s tubo acima. Determine a velocidade angular das barras AB e BC e a velocidade do ponto B na situação mostrada na figura.

Passo 1

Vamos começar montando a equação da velocidade do ponto B :

v → B = ω → A B × r → B / A

Vamos adotar esses vetores da figura, caso estejam no sentido errado, o resultado vai dar negativo.

O vetor posição será:

r → B / A = 1 j ^   p é

E como o nosso sistema de referência adota o sentido anti-horário como positivo, o vetor velocidade angular será negativo, pois faz a barra girar no sentido horário:

ω → A B = - ω A B k ^  

Então, nossa equação fica:

v → B = ω → A B × r → B / A       →       v → B = - ω A B k ^ × 1 j ^  

O produto vetorial vai ficar assim:

i ^ j ^ k ^ 0 0 - ω A B 0 1 0 = 0 - ω A B 1 0 i ^ - 0 - ω A B 0 0 j ^ + 0 0 0 1 k ^

v → B = ω A B i ^  

Passo 2

Agora vamos para a barra B C . Temos que:

v → C = v → B + ω → B C × r → C / B

Vamos considerar os vetores como está na figura. Então:

r → C / B = 1 i ^   p é

E a velocidade angular da barra B C é positiva, pois está girando no sentido anti-horário:

ω → B C = ω B C k ^

Agora vamos decompor o vetor v → C :

v → C = v C c o s 45 ° i ^ + v C s e n 45 ° j ^

Como v C = 4   p é s / s , temos que:

v → C = v C c o s 45 ° i ^ + v C s e n 45 ° j ^       →         v → C = 4 c o s 45 ° i ^ + 4 s e n 45 ° j ^

v → C = 2,828 i ^ + 2,828 j ^

Beleza?

Agora podemos substituir o que temos na nossa equação da barra B C :

v → C = v → B + ω → B C × r → c / B       →          

2,828 i ^ + 2,828 j ^ = ω A B i ^ + ω B C k ^ × 1 i ^

Vamos resolver o produto vetorial:

ω B C k ^ × 1 i ^     →

i ^ j ^ k ^ 0 0 ω B C 1 0 0 = 0 ω B C 0 0 i ^ - 0 ω B C 1 0 j ^ + 0 0 1 0 k ^

ω → B C × r → c / B = ω B C j ^

Então:

2,828 i ^ + 2,828 j ^ = ω A B i ^ + ω B C j ^

Vamos igualar os termos de mesma componente:

E m   x       →         ω A B = 2,828

E m   y       →       ω B C = 2,828

Como deu tudo positivo, significa que escolhemos o sentido correto dos vetores, então a velocidade angular das barras é:

ω → A B = - 2,83 k ^   r a d / s

ω → B C = 2,83 k ^   r a d / s

Passo 3

Agora podemos calcular a velocidade do ponto B :

v → B = 2,83 i ^   p é s / s

E seu módulo é:

v → B = 2,83   p é s / s

Resposta

a )   ω → A B = - 2,83 k ^   r a d / s

b )   ω → B C = 2,83 k ^   r a d / s

c )   v → B = 2,83   p é s / s

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