Exercícios Resolvidos de Movimento Relativo: Velocidade

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Enunciado

02) A figura ao lado ilustra um mecanismo constituído por um aro fixo de raio 5 r e dois discos, um de centro A, raio 2 r e massa 4 m , e outro de centro B, raio r e massa m . Ambos os discos são articulados a uma treliça AOB de massa desprezível, que por sua vez é articulada no centro O do aro. O dispositivo assim construído mantém os discos em contato permanente com a superfície interna do aro, sendo C e D, respectivamente, os pontos de contato do disco de centro A e do disco de centro B com o aro. Sabendo que ambos os discos realizam movimento de rolamento sem escorregamento, pede-se:

a) A relação ω 2 ω 1 onde ω 1 é a velocidade angular do disco de centro A e ω 2 é a velocidade angular do disco de centro B.

b) Os momentos de inércia do disco de centro A em relação ao polo C e do disco de centro B em relação ao polo D, nesta ordem.

c) Sabendo que o mecanismo parte do repouso quando A - O = 3 r i → . Determine a velocidade angular do disco de centro A no instante em que A - O =   - 3 R j → .

Passo 1

Eaí galerinhaaa, tudo tranquilo com vocês?

a) Temos uma questão bem interessante que começa trabalhando bastante a ideia do rolamento sem escorregamento. Nesse item precisamos determinar a relação entre as velocidades angulares dos discos de centro A e B. Mas, de qual equação da mecânica que vai sair essa razão?

Bom, na realidade a ideia é usar mais de uma equação buscando relacionar os discos A e B. Observando a estrutura podemos perceber que o primeiro ponto que tem seu movimento relacionado com esses dois discos é o centro O. Por isso, vamos tentar escrever sua velocidade (que é nula, pois é um ponto fixo) em função de ω 1 e ω 2 .

Sabemos que, como os discos A e B rolam sem escorregamento, os pontos C e D, respectivamente, possuem velocidade nula. Assim:

v → A = v → C +   ω 1 k → × - 2 r i → =   - 2 ω 1 r j →

v → B = v → D +   ω 2 k → × r j → =   - ω 2 r i →

Massa! Sendo Ω a velocidade angular da treliça, como A e B pertencem à treliça a gente pode escrever que:

v → A = v → O + Ω k → × 3 r i → = 3 Ω r j →

v → B = v → O + Ω k → × - 4 r j → = 4 Ω r i →

Beleza, igualando agora as expressões que temos para v → A   e v → B teremos:

A :   - 2 ω 1 r = 3 Ω r ∴ Ω =   - 2 ω 1 3

B :   - ω 2 r = 4 Ω r ∴ Ω =   - ω 2 4

Muito bom, estamos quase terminando. Agora é só igualar as duas expressões que temos para o Ω :

- 2 ω 1 3 =   - ω 2 4 ⇒ ω 2 ω 1 = 8 3

Prontinho 😉

Passo 2

b) Nesse item devemos calcular o momento de inércia do disco A e do disco B em relação aos pontos C e D, respectivamente. O que pode causar problema aqui é que os pontos C e D não estão no centro do disco, assim temos que usar o teorema dos eixos paralelos pra encontrar a resposta. Lembra o que ele diz:

J z c = J z A + m ⋅ d C / A 2

Então vamos lá! O momento de inércia em relação ao eixo que passa pelo centro do disco vale:

J = M R 2 2

Para o disco A, como d C / A   = 2 r , teremos:

J Z C = 4 m ⋅ 2 r 2 2 + 4 m ⋅ 2 r 2  

J Z C = 8 m r 2 + 16 m r 2 = 24 m r 2

Já para o disco B, como d D / B   = r , teremos:

J Z D = m r 2 2 + m r 2 = 3 m r 2 2

Show! Terminamos mais um item.

Passo 3

c) Agora precisamos determinar ω 2 em um outro instante, após a treliça ter rotacionado um pouco.

Temos, basicamente, duas opções: tentar encontrar aceleração angular pra determinar a nova velocidade angular, ou usar os teoremas de energia. A primeira opção não é muito legal porque não conhecemos a diferença de tempo entre as situações. Então bora pra energia!

Pelo teorema da energia cinética, sabemos que:

τ = Δ T

Como a única força que está executando trabalho é a força peso, analisando a diferença de altura para o centro de cada um dos discos na nova posição, vem que:

τ = 4 m g ⋅ 3 r - m g ⋅ 4 r = 8 m g r

Já para a variação de energia cinética, podemos escrever que:

Δ T = 1 2 J Z C ω 1 2 + 1 2 J Z D ω 2 2

Lembrando do resultado lá do item A, sabemos que ω 2 = 8 ω 1 / 3   (esse resultado vale em qualquer instante), daí substituindo:

Δ T = 1 2 ⋅ 24 m r 2 ω 1 2 + 1 2 ⋅ 3 m r 2 2 ⋅ 8 ω 1 3 2

Δ T = 12 m r 2 ω 1 2 + 16 m r 2 ω 1 2 3 = 52 m r 2 ω 1 2 3

Igualando esse resultado ao trabalho calculado anteriormente, temos:

8 m g r = 52 m r 2 ω 1 2 3 ∴ ω 1 2 = 24 g 52 r = 6 g 13 r

⇒ ω 1 =   6 g 13 r

Muito bommm! Todo mundo conseguiu entender direitinho? Bem legal essa questão né, já vamo aproveitar o embalo e ir pra próxima, galera 😉

Resposta

a)

ω 2 ω 1 = 8 3

b) J Z C = 24 m r 2

J Z D = 3 m r 2 2

c)

ω 1 =   6 g 13 r

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