Exercícios Resolvidos de Movimento Relativo: Velocidade

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Enunciado

A extremidade A da barra possui uma velocidade para baixo v A de 2   m / s durante um intervalo de seu movimento. Para a posição em que θ = 30 ° determine a ) a velocidade angular ω de A B e b ) a velocidade v G do ponto central G da barra. Resolva as equações da velocidade relativa, inicialmente utilizando geometria do polígono de vetores e, em seguida, utilizando a álgebra vetorial.

Passo 1

Quando a extremidade A se move para baixo, a extremidade B da mesma barra se move para a esquerda:

Sabemos que a velocidade angular é calculada da seguinte forma:

ω = v r

Então, a velocidade angular da barra A B será:

ω A B = v B / A r B / A

Mas como calcular a velocidade de B com relação a A ? Para achar seu valor vamos ter que fazer uma soma dos vetores velocidade que temos. Mas lembre-se que a velocidade relativa é sempre perpendicular à linha que une os dois pontos, ou seja, no nosso caso o vetor v → B / A vai ser perpendicular a barra A B :

O triângulo de velocidades fica assim:

v B → = v A → + v B / A →

Agora vamos achar os ângulos entre os vetores:

Para achar o ângulo β temos que fazer a seguinte sequência:

β = 180 ° - 90 ° + 60 °           →               β = 30 °

Então, v B / A será:

cos ⁡ 30 ° = v A v B / A

A velocidade do ponto A nós temos e vale 2   m / s , então:

v B / A = 2,309   m / s

Com esse valor podemos calcular a velocidade angular da barra A B :

ω A B = v B / A r B / A       →           ω A B = 2,309 0,2

ω A B = 11,55   r a d / s

Para determinar o sinal da velocidade angular usamos a regra da mão direita: temos que colocar os quatro dedos da palma da mão direita no sentido do vetor v → B / A e com isso o seu dedão vai apontar para o sentido positivo do eixo z (para dentro da tela). Ou seja, a velocidade angular faz a barra girar no sentido horário:

ω → A B = 11,55 k ^   r a d / s

O sentido horário é positivo devido a posição do eixo x y !!!

Passo 2

Agora temos que calcular a mesma coisa do passo anterior, porém de forma vetorial. Para isso, vamos usar a equação da velocidade relativa. Temos que a velocidade da extremidade B é:

v → B = v → A + ω → A B × r → B / A

O vetor posição de B em relação a A quando θ = 30 ° é:

r → B / A = 0,2 cos ⁡ 30 ° i ^ - 0,2 s e n   30 ° j ^  

r → B / A = 0,173 i ^ - 0,1 j ^   m

Sabemos que o vetor v → A é:

v → A = - 2 j ^   m / s

O vetor v → B aponta no sentido positivo do eixo x e podemos calcular o seu valor através do triângulo de velocidades:

t g   β = v B v A       →           t g   30 ° = v B 2

v B = 1,155   m / s

Então, o vetor v → B é:

v → B = 1,155 i ^   m / s

Como estamos fazendo de conta que não sabemos o valor da velocidade angular, podemos dizer apenas que:

ω → A B = ω A B k ^

Depois vamos descobrir se é positivo mesmo ou negativo.

Passo 3

Vamos substituir o que temos na equação da velocidade:

v → B = v → A + ω → A B × r → B / A

1,155 i ^ = - 2 j ^ + ω A B k ^ × ( 0,173 i ^ - 0,1 j ^ )

Nosso produto vetorial vai ficar:

i ^ j ^ k ^ 0 0 ω A B 0,173 - 0,1 0 = 0 ω A B - 0,1 0 i ^ - 0 ω A B 0,173 0 j ^ + 0 0 0,173 - 0,1 k ^

ω → A B × r → B / A = 0,1 ω A B i ^ + 0,173 ω A B j ^

Então:

1,155 i ^ = - 2 j ^ + ω A B k ^ × 0,173 i ^ - 0,1 j ^   →

1,155 i ^ = - 2 j ^ + 0,1 ω A B i ^ + 0,173 ω A B j ^

Somando os termos da mesma componente:

E m   x       →           0,1 ω A B = 1,155

E m   y       →           0,173 ω A B - 2 = 0

O valor de ω A B é:

ω A B = 11,55   r a d / s

Como encontrado antes!!!

Passo 4

Agora vamos achar o valor da velocidade do ponto central da barra utilizando o triângulo de velocidades.

Sabemos que o vetor velocidade relativa de G com relação a A é perpendicular à reta que liga os pontos A e G :

Então, o triângulo de velocidades vai ficar:

Temos o mesmo ângulo β entre os vetores:

Repare que podemos calcular v G / A , pois já sabemos a velocidade angular da barra:

ω A B = v G / A r G / A       →             11,55 = v G / A 0,1

v G / A = 1,155   m / s

Agora para saber o valor de v G é só usarmos a lei dos cossenos:

v G 2 = v A 2 + v G / A 2 - 2 v A v G / A cos ⁡ β

v G 2 = 2 2 + 1,155 2 - 2 2 1,155 cos ⁡ 30 °

v G = 1,155   m / s

Passo 5

Agora vamos calcular a velocidade v G utilizando a equação da velocidade:

v → G = v → A + ω → A B × r → G / A

O vetor posição r → G / A será:

r → G / A = 0,1 cos ⁡ 30 ° i ^ - 0,1 s e n   30 ° j ^  

r → G / A = 0,087 i ^ - 0,05 j ^   m

Então, o vetor v → G vai ser:

v → G = v → A + ω → A B × r → G / A       →       v → G = - 2 j ^ + 11,55 k ^ × ( 0,087 i ^ - 0,05 j ^ )

v → G = - 2 j ^ + 0,577 i ^ + 1 j ^

v → G = 0,577 i ^ - 1 j ^   m / s

E seu módulo é:

v → G = 0,577 2 + ( - 1 ) 2   m / s

v → G = 1,155   m / s

Resposta

a )   ω A B = 11,55   r a d / s   n o   s e n t i d o   h o r á r i o

b )   v → G = 1,155   m / s

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