Exercícios Resolvidos de Movimento Relativo: Velocidade

Ver Teoria

Enunciado

A unidade A consiste em um motor com redução de alto torque que gira a barra A B na taxa constante θ ˙ = 0,5   r a d / s . A unidade A é livre para se mover ao longo da superfície horizontal. Determine a velocidade v A da unidade A quando θ atinge 60 ° .

Passo 1

Vamos entender o que está acontecendo... Conforme o ângulo θ aumenta, o ponto A se move para a direta.

Então, vamos ter que:

v → A = v → B + v → A / B

Vamos achar o vetor v → A / B primeiro, lembrando que:

v → A / B = ω → A B × r → A / B

Para isso, temos que decompor r → A / B :

r → A / B = - 500 cos ⁡ 60 ° i ^ - 500 s e n   60 ° j ^   m

r → A / B = - 250 i ^ - 433,013 j ^   m

E o vetor ω → A B fica sempre no eixo z . Falta saber se ele é positivo ou negativo. Mas é só olhar como ele faz a barra girar, que no nosso caso é no sentido anti-horário, ou seja, ω → A B é positivo:

ω → A B = + 0,5 k ^   r a d / s

Pronto! Podemos fazer o produto vetorial:

i ^ j ^ k ^ 0 0 0,5 - 250 - 433,013 0 = i ^ 0 0,5 - 433,013 0 - j ^ 0 0,5 - 250 0 + k ^ 0 0 - 250 - 433,013

ω → A B × r → A / B = ( 216,51 i ^ - 125 j ^ )

Então:

v → A / B = 216,51 i ^ - 125 j ^   m m / s

Seu módulo será:

v → A / B = ( 216,51 ) 2 + ( - 125 ) 2

v → A / B = 250   m m / s

O vetor v → A / B fica assim:

Passo 2

Vamos agora analisar o vetor v → B . Repare também que o ponto B tende a girar em torno do ponto fixo C , de modo que a velocidade neste ponto é tangente à trajetória circular

Repare que para achar a velocidade do ponto B , teríamos que achar a velocidade relativa da barra B C :

v → B = ω → B C × r → B / C

Isso daria muito trabalho... Então, vamos usar a lei dos senos:

Mas antes temos que achar esses ângulos entre os vetores. Vamos começar pelo ângulo que o vetor v → B faz com a horizontal:

Repare que o ângulo β que o vetor v → B faz com a horizontal vai ser:

β = 90 ° - φ

Podemos achar quanto vale o ângulo φ pela geometria inicial do nosso problema e utilizando a lei dos senos também:

500 s e n   φ = 750 s e n   60 °

φ = a r c s e n 500 s e n   60 ° 750

Então, este ângulo vai ser:

φ = 35,3 °

Podemos achar o valor de β :

β = 90 ° - φ       →           β = 90 ° - ( 35,3 ° )

β = 54,7 °

Agora vamos achar o ângulo α que o vetor v → A / B faz com relação a horizontal:

tan ⁡ α = 125 216,51     →         α = arctan ⁡ 125 216,51

α = 30 °

Então, já temos até agora:

O ângulo γ será:

γ = 180 ° - ( 54,7 ° + 30 ° )

γ = 95,3 °

Agora podemos aplicar a lei dos senos para achar o valor de v → A :

v A s e n   γ   = v A / B s e n   β     →         v A = 250 s e n   95,3 ° s e n   54,7 °

v A = 305   m m / s

O vetor v → A aponta no sentido positivo do eixo x , então podemos escrever o vetor como:

v → A = + 305 i ^   m m / s

Resposta

v A = 305   m m / s

Exercícios de Livros Relacionados

60. Determine a velocidade do ponto A na borda da engrenagem no instante mostrado.
62. O pistão P se desloca para cima com uma velocidade de 7,5 m/s no instante mostrado. Determine a velocidade angular do eixo de manivela AB nesse instante.
5/64) A velocidade do centro da Terra enquanto orbita o sol é v = 107257k m / h e a velocidade angular absoluta da Terra em torno de seu eixo de rotação norte-sul é ω = 7,292 10 - 5 r a d / s . Utiliz
5/59) A extremidade A da haste possui a velocidade indicada no instante representado . A extremidade B está confinada a se deslocar na ranhura. Para esse instante calcule a velocidade de B e a velocid
5/68) A placa quadrada uniforme se desloca no plano x y e possui uma velocidade angular no sentido horário . No instante representado , o ponto A tem uma velocidade de 2 m / s para a direita , e a vel