Exercícios Resolvidos de Movimento Relativo: Velocidade

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Enunciado

O mecanismo mostrado na figura foi desenvolvido para dar à lâmina presa no cursor C um golpe lento e retornar rapidamente. Determine a velocidade do cursor C no instante em que θ = 60 ° , se a barra A B gira a 4   r a d / s .

Passo 1

Primeiro vamos entender o que está acontecendo. A barra A B está girando em torno do ponto A fazendo com que a barra B C se mova. O que queremos saber é a velocidade no ponto C . Então, o nosso diagrama cinemático fica assim:

Calma, vamos analisar cada barra separadamente. Mas qual devemos analisar primeiro? A barra que tenha sido dada alguma informação sobre ela na questão. No nosso caso é a barra A B . Repare que o ponto B realiza um movimento circular em torno do ponto A :

Repare que o vetor velocidade é tangente à trajetória. Como o movimento de B é somente de rotação em torno de A , vamos usar a equação do movimento de rotação:

v → B = ω → A B ×   r → B

Passo 2

Precisamos fazer o produto vetorial, então vamos decompor o vetor r B em relação ao eixo x y :

r → B = 0,3 c o s   60 ° i ^ + 0,3 s e n   60 ° j ^

r → B = 0,15 i ^ + 0,26 j ^   m

Sabemos que a velocidade angular tem apenas uma componente no eixo z só falta sabermos se ela aponta para o sentido positivo ou negativo deste eixo. Lembra que definimos que quando a velocidade angular gira no sentido anti-horário ela é positiva? Como ω A B está girando neste sentido, ela é positiva:

ω → A B =   + 4 k ^

Nosso produto vetorial vai ficar assim:

ω → A B ×   r → B = 4 k ^ × ( 0,15 i ^ + 0,26 j ^ )

Para resolver o produto vetorial é só lembrar que para cada componente é só excluir a linha e a coluna correspondente. Se for por exemplo a componente no eixo x :

i ^ j ^ k ^ 0 0 4 0,15 0,26 0 = i ^ 0 4 0,26 0 - j ^ 0 4 0,15 0 + k ^ 0 0 0,15 0,26

Agora é só acharmos os determinantes dessas matrizes 2 x 2 :

i ^ j ^ k ^ 0 0 4 0,15 0,26 0 = - 1,04 i ^ + 0,6 j ^ + 0 k ^

Então, a velocidade no ponto B será:

v → B = ω → A B A B ×   r → B

v → B = - 1,04 i ^ + 0,6 j ^   m / s

Passo 3

Agora vamos fazer nossa análise para a barra B C :

Vamos ter que:

v → C =   v → B + v → C / B

Sendo que a velocidade relativa do ponto C com relação ao ponto B ( v C / B ) é:

v → C / B = ω → B C × r → C / B

Vamos decompor o raio r C / B :

r → C / B = - 0,125 c o s   45 ° i ^ + 0,125 s e n   45 ° j ^

r → C / B = ( - 0,088 i ^ + 0,088 j ^ )   m

A aceleração angular da barra B C também gira no sentido anti-horário, ou seja, ela é positiva:

ω → B C = + ω B C k ^

Então, vamos ter o seguinte produto vetorial:

ω → B C × r → C / B = ( ω B C k ^   ) × ( -   0,088 i ^ + 0,088 j ^ )

Que pode ser escrito assim:

i ^ j ^ k ^ 0 0 ω B C - 0,088 0,088 0 = i ^ 0 ω B C 0,088 0 - j ^ 0 ω B C - 0,088 0 + k ^ 0 0 - 0,088 0,088

i ^ j ^ k ^ 0 0 ω B C - 0,088 0,088 0 = - 0,088 ω B C i ^ - 0,088 ω B C j ^ + 0 k ^

A velocidade v → C / B será:

v → C / B = ω → B C × r → C / B       →         v → C / B = - 0,088 ω B C i ^ - 0,088 ω B C j ^   m / s  

Passo 4

Agora que sabemos a velocidade relativa de C com relação a A e o valor de v → B vamos substituir na equação para achar v → C :

v → C =   v → B + v → C / B     →         v → C = - 1,04 i ^ + 0,6 j ^ +   - 0,088 ω B C i ^ - 0,088 ω B C j ^

Teremos:

v → C = - 1,04 - 0,088 ω B C i ^ + ( 0,6 - 0,088 ω B C ) j ^

Mas repare que o cursor C só pode se mover na horizontal, de modo que a sua velocidade será:

v → C = v C i ^

Então, podemos escrever:

v C i ^ = - 1,04 - 0,088 ω B C i ^ + 0,6 - 0,088 ω B C j ^

Agora é só somarmos todos os termos de mesma componente ( i ^ com i ^   e j ^ com j ^ ) . Vamos ter o seguinte sistema:

v C = - 1,04 - 0,088 ω B C    

E:

0 = 0,6 - 0,088 ω B C

De cara podemos achar o valor de ω B C pela segunda equação:

0 = 0,6 - 0,088 ω B C       →           ω B C = 6,82   r a d / s

Substituindo isso na primeira equação:

v C = - 1,04 - 0,088 ω B C       →             v C = - 1,04 - 0,088 ( 6,82 )

v C = -   1,64   m / s

O vetor velocidade do ponto C vai ser:

v → C = - 1,64 i ^   m / s

Como o sinal deu negativo, significa que a velocidade aponta no sentido negativo do eixo x .

Resposta

v → C = - 1,64 i ^   m / s

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