Exercícios Resolvidos de Movimento Relativo: Velocidade

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Enunciado

03) Um pequeno anel de massa m move-se sem atrito sobre um arame cuja forma é definida pela equação vetorial:

P - O = r → = a θ - s e n θ i → + a 1 - c o s θ j →

No instante t = 0 o anel parte com velocidade v → 0 = v 0 i → da posição mais elevada da curva, ou seja, x = π a ,   y = 2 a , correspondente a θ = π . Pede-se:

a) desenhar o diagrama de corpo livre do anel em uma posição genérica π < θ < 2 π , indicando as componentes tangencial e normal da sua aceleração;

b) utilizando o diagrama de corpo livre do item a) escrever as equações do movimento do anel projetadas nas direções normal e tangencial;

c) determinar a velocidade do anel no instante em que se encontrar na posição correspondente a θ = 3 π / 2   .

Passo 1

Ooii pessoal, tudo tranquilo por aí?

Bora dar o gás nessa questão!

Basicamente, temos um anel de massa m que se movimenta em um arame que possui equação da curva definida.

a) Pra começar, devemos desenhar o diagrama de corpo livre (DCL) do anel para π < θ < 2 π .

Bom, a primeira pergunta que nos fazemos é: quais forças atuam no anel nesse movimento?

Temos a força Peso, é claro, mas há também uma força normal devido ao contato do anel e do arame.

É falado no enunciado que, quando x = π a temos θ =   π . Assim, se π < θ < 2 π , o anel está do lado direito do arame. Isso é importante pra saber qual a direção da força normal.

Sabendo dessas coisas, podemos desenhar:

Prontinho!

Passo 2

b) Aqui devemos escrever as equações de força no anel em duas direções, a tangencial e a normal ao movimento. Vamos olhar novamente o DCL que desenhamos no item a).

Tomando a componente do peso na direção tangencial, temos:

m g c o s α = m a t

Já no sentido normal, temos:

m g s e n α - N = m a n

Mas lembra que a em um movimento plano, podemos dizer que:

a n = v 2 R

Onde v ,   α e R são funções de θ ( t ) .

Ainda podemos melhorar um pouco nossas expressões lembrando do Triedo de Frenet.

Calma galera hahaha. É só a gente usar o vetor tangencial de Frenet. Como o c o s ⁡ ( α ) é a direção entre o versor tangencial e o versor - j → , podemos afirmar que:

- j → ⋅ τ ^ = - j → ⋅ τ ^ ⋅ c o s α

- j → ⋅ τ → = c o s α

Só que:

τ ^ = v θ t v θ t

Maaaas,

v θ t = d r θ d t

Daí, simplificando tudo, temos:

m ⋅ - j → ⋅ v θ t v θ t = m a t m g s e n α - N = m v 2 R

Onde α ,   R são funções de θ . E:

v θ t = d r θ d t

Show! Como o enunciado também não deixou muito claro em função do que queria as equações, essa resposta está ótima 😊

Passo 3

c) Devemos determinar a velocidade do anel quando θ = 3 π / 2   .

Como conhecemos a altura e velocidade iniciais, e temos apenas uma força que realiza trabalho (o peso), é uma ótima ideia usar o teorema da energia cinética.

Aplicando entre o instante inicial ( θ = π ) e o instante em que ( θ = 3 π / 2 ) , temos:

m g 2 a - h 3 π 2 = m v 2 2 - m v 0 2 2

Mas, qual que é a altura quando h = 3 π / 2 ?

O bizu é olhar pra equação do vetor posição:

r → = a θ - s e n θ i → + a 1 - c o s θ j →

A altura é justamente a componente em j → . Logo, para θ =   3 π / 2 temos:

h 3 π 2 = a 1 - cos ⁡ 3 π 2

h 3 π 2 = a

Substituindo, temos:

m g a = m v 2 2 - m v 0 2 2

∴ v 2 = ( 2 g a + v 0 2 )

⇒ v = 2 g a + v 0 2

Aeee, prontinhoo! Matamos mais uma questão.

Até a próxima galeraaa, tamo junto 😉

Resposta

a) Resolução no texto.

b) Resolução no texto.

c)

v = 2 g a + v 0 2

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