Exercícios Resolvidos de Mudança da Ordem de Integração

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Enunciado

De acordo com o gráfico apresente, ao menos, três integrais triplas iteradas que representam o volume do sólido em questão.

Passo 1

Ok, basicamente o que nós vamos fazer para obter três integrais diferentes, é alternar qual das constantes está limitada por constantes.

Por exemplo, vamos fixar y por constantes. Olhando para a imagem, a coordenada y de qualquer ponto da figura está no intervalo:

0 ≤ y ≤ 1

Concorda? E agora você tem que se fazer a seguinte pergunta: para um ponto fixo no y , em qual intervalo variam as outras coordenadas?

Bom, vamos olhar para o x primeiro. Vamos representar o valor fixo de y por uma reta amarela (é só um exemplo, aquela reta poderia estar em qualquer y entre 0 e 1 )

Em qual intervalo varia a coordenada x dos pontos daquela reta? Bom, todos começam no zero e vão até aquele reta y = 1 - x , que é o mesmo que x = 1 - y .

Ou seja:

0 ≤ x ≤ 1 - y

E o z ? Assim como as outras duas, ele começa no zero, mas é limitado por uma função z = 1 - x 2 . Ou seja, para cada x e y fixos, o z varia em:

0 ≤ z ≤ 1 - x 2

Agora é só jogar isso em uma integral tripla:

∫ 0 1 ∫ 0 1 - y ∫ 0 1 - x 2 d z   d x   d y

Cuidado para não errar a ordem dos diferenciais!

Beleza, se você entendeu essa, as outras vão ser tranquilas também.

Passo 2

Como nós falamos lá em cima, a única coisa que vai mudar é: qual das variáveis é limitada por constantes.

Já fizemos par a o y , agora vamos pegar o x . Todos os pontos que estão naquele volume têm coordenada x dentro de qual intervalo?

0 ≤ x ≤ 1

Ótimo. Agora vamos àquela pergunta importantíssima: para cada x fixo, em qual intervalo variam os valores de y ? Vamos um x qualquer por uma reta amarela:

Dá pra visualizar o intervalo? Todos os pontos começam no y = 0 , e vão até y = 1 - x ! Ou seja:

0 ≤ y ≤ 1 - x

E agora o z vai continuar como era no item anterior! Para cada x e y fixos, o z varia em:

0 ≤ z ≤ 1 - x 2

Então nossa segunda integral é:

∫ 0 1 ∫ 0 1 - x ∫ 0 1 - x 2 d z   d y   d x

Mudou bem pouco né? Mas é diferente.

Passo 3

Para finalizar, vamos pegar o caso em que z é limitado por constantes. Olhando para a imagem, todos os pontos do volume tem coordenada z variando dentro de qual intervalo?

0 ≤ z ≤ 1

Certo? É impossível achar um ponto no volume que tenha coordenada z fora desse intervalo.

Agora vamos à pergunta: para cada z fixo, em qual intervalo varia o x ? (poderia perguntar do y também, a ordem não importa). Vamos voltar à nossa reta amarela:

A coordenada x dos pontos daquela reta sempre começam no 0 (para cada z fixo), mas até onde eles vão? Bom, eles estão limitados por aquela função z = 1 - x 2 , que pode ser reescrita como x = 1 - z 2 (não precisa colocar o ± , já que estamos no primeiro octante).

Então:

0 ≤ x ≤ 1 - z

E agora vamos ao y . Para cada x e z fixos, onde varia o y ? Tranquilo, o y só depende do x , e vai variar do 0 até aquela função y = 1 - x , ou seja:

0 ≤ y ≤ 1 - x

E a nossa terceira integral é:

∫ 0 1 ∫ 0 1 - z ∫ 0 1 - x d y   d x   d z

Pronto! Escrevemos três integrais diferentes que calculam o mesmo volume!

Resposta

Três opções de integrais para calcular aquele volume são ∫ 0 1 ∫ 0 1 - z ∫ 0 1 - x d y   d x   d z , ∫ 0 1 ∫ 0 1 - x ∫ 0 1 - x 2 d z   d y   d x e ∫ 0 1 ∫ 0 1 - y ∫ 0 1 - x 2 d z   d x   d y .

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