Exercícios Resolvidos de Mudança da Ordem de Integração

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Enunciado

3) Arraste e solte, nos campos correspondentes, o valor correto de cada elemento, conforme as opções disponíveis.

a) ∫ 0 3 ∫ 0 1 ∫ 3 ⋅ y 3 cos ⁡ x 2 z d x d y d z = ∫ a b ∫ c d ∫ e f ? ? ? d y d x d z , onde:

a = ? ? ? ,   b = ? ? ? ,   c = ? ? ? ,   d = ? ? ? ,   e = ? ? ? e f = ? ? ? ;

Passo 1

Falaaa... beleza??

Nessa questão vamos precisar mudar a ordem de integração dessa integral tripla.

Pra isso, vamos desenhar a região de integração (que são os limites das integrais de dentro) e trocamos a ordem.

Repara que o z continua na mesma posição (mais pra fora) da integral nas duas integrais triplas. Então nem precisamos mexer nele.

Já podemos responder que a = 0 e b = 3 .

Passo 2

Com y variando de 0 até 1 e com x variando de 3 ⋅ y até 3 . Temos:

E pra mudar a ordem de integração temos que o x vai variar de onde a reta azul, que é a equação x = 3 ⋅ y , cruza com a reta vermelha (reta y = 0 ) :

x = 3 ⋅ 0 = 0

Até onde a reta azul cruza com a reta verde e a laranja:

x = 3

Passo 3

Para o y , temos que ele varia da reta vermelha:

y = 0

Até a reta inclinada:

x = 3 ⋅ y

y = x 3

Como não tem nenhuma mudança de variáveis, então o que a gente está integrando não muda... A integral fica:

∫ a b ∫ c d ∫ e f ? ? ? d y d x d z = ∫ 0 3 ∫ 0 3 ∫ 0 x 3 cos ⁡ x 2 z d y d x d z

Resposta

∫ 0 3 ∫ 0 3 ∫ 0 x 3 cos ⁡ x 2 z d y d x d z

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