Exercícios Resolvidos de Mudança da Ordem de Integração

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Enunciado

Obtenha 4 (quatro) outras ordens de integração distintas, além da ordem dada, para a integral

∫ 0 1 ∫ 0 z 2 ∫ 0 y f ( x , y , z ) d x d y d z

Passo 1

Oiie, tudo bem com você?

O enunciado nos dá a seguinte integral múltipla

∫ 0 1 ∫ 0 z 2 ∫ 0 y f ( x , y , z ) d x d y d z

e pede para achar outras ordens de integração. Mas o que quer dizer isso? Quando estamos trabalhando com integrações múltiplas devemos tomar um certo cuidado com a ordem de integração, note que os limites apresentam funções de ( x , y ) , isso é um indicativo da região na qual está sendo realizada a integração, alterar a ordem, alterar esses limites, então, vamos tentar visualizar a nossa região e encontrar outras ordens possíveis! Saca só!

Passo 2

A ordem que estamos integrando agora faz inicialmente a integração em x , desde o plano x = 0 até o plano x = y , em seguida, parte do plano y = 0 até o parabolóide y = z 2 , por último fechando a região saindo do plano z = 0 até o plano z = 1 . Note que isso descreve o volume da seguinte região

O tracejado laranja é a parte de baixo da região, ela é tampada pelo plano z = 1 . O segredo aqui, é descrever essa região de outras maneiras!A primeira mudança que podemos fazer é sair primeiramente do plano y = x até o parabolóide y = z 2 , e então partir de x = 0 até intersecção do plano x = y com o parabolóide y = z 2 , de forma que temos

∫ 0 1 ∫ 0 z 2 ∫ x z 2 f ( x , y , z ) d y d x d z

Vamos procurar por outras agora!

Passo 3

E se quisermos integrar primeiro em z ? Aí teríamos que partir do parabolóide y = z 2 , ou neste caso, z = y até o plano z = 1 que é a nossa tampa, então, eu posso partir do plano x = 0 até o plano x = y , e finalmente integrar em y desde o plano y = 0 , até a interseção do parabolóide com o plano z = 1 , que é dado por y = 1 , essa integral será

∫ 0 1 ∫ 0 y ∫ y 1 f ( x , y , z ) d z d x d y

Ainda precisamos de mais duas! Vamos continuar integrando primeiro em z , portanto, partindo de z = y até z = 1 . Mas, podemos agora partir primeiro do plano y = x até a interseção de y = z 2 com z = 1 , ou seja, y = 1 . Por último, partimos de x = 0 , até a interseção de x = y com y = 1 , portanto, a nossa integral se torna

∫ 0 1 ∫ x 1 ∫ y 1 f ( x , y , z ) d z d y d x

Acha que já pegou o jeito? Falta só uma! Vamos fazer ela no próximo passo!

Passo 4

Vamos agora voltar a integrar primeiro em x , portanto, como no enunciado, temos que sair do plano x = 0 até o plano x = y , mas agora, vamos integrar em z , portanto, temos que partir do parabolóide z = y , como fizemos no passo anterior e ir até o plano z = 1 . Por último iremos integrar em y , partindo de y = 0 até a interseção de y = z 2 com z = 1 , obtendo finalmente

∫ 0 1 ∫ y 1 ∫ 0 y f ( x , y , z ) d x d z d y

Todas estas quatro são ordens válidas de integração! Se quiser verificar, faça f ( x , y , z ) = 1 e calcule o volume! Verá que o resultado será sempre 1 / 10 que é o volume de nossa região! A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

Ao longo dos Passos!

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Escreva cinco outras integrais iteradas que sejam iguais à integral iterada dada. ∫ 0 1 ∫ y 1 ∫ 0 y f x , y , zd z d x d y
Expresse a integral ∭ E f x , y , zd V como uma integral iterada de seis modos diferentes, onde E é o sólido limitado pelas superfícies dadas. y = x 2 ,z = 0 ,y + 2 z = 4
Esboce o sólido cujo volume é dado pela integral iterada. ∫ 0 1 ∫ 0 1 - x ∫ 0 2 - 2 z d y d z d x
Escreva cinco outras integrais iteradas que sejam iguais à integral dada. ∫ 0 1 ∫ y 1 ∫ 0 z f x , y , zd zd yd x
Expresse a integral ∭ E f x , y , z d V como uma integral iterada de seis modos diferentes, onde E é o solido limitado pelas superfícies dada. x 2 + z 2 = 4 ,y = 0 , y = 6