Exercícios Resolvidos de Mudança da Ordem de Integração

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Enunciado

Esboce o gráfico associado à seguinte integral:

∫ - 1 1 ∫ x 2 1 ∫ 0 1 - y d z d y d x

Passo 1

Vamos especificar primeiro os limites que podemos tirar a partir das integrais. Pela integral de fora:

- 1 ≤ x ≤ 1

Pela integral do meio:

x 2 ≤ y ≤ 1

Pela integral de dentro:

0 ≤ z ≤ 1 - y

Passo 2

Vamos analisar os nossos dois primeiros limites. Perceba que eles estão no plano x y sendo que, em y , vamos ter essas duas curvas:

y = x 2

y = 1

Graficamente isso fica assim:

Passo 3

Tendo determinado a região em duas dimensões, vamos expandi-la para a terceira, no nosso caso, o eixo z .

Pelo passo 1, vemos que z está limitado pelos planos z = 0 e z = 1 - y . Em três dimensões e limitados pela região encontrada no 2 D temos o seguinte:

z = 0

Agora para o plano z = 1 - y também limitado por aquela região em 2 D :

Perceba que ambos os planos existem em outros pontos, só que só queremos a região expandida em relação àquela encontrada no 2 D !

Pronto, agora é só ver qual o sólido que está entre essas regiões. Fica assim:

Resposta

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Escreva cinco outras integrais iteradas que sejam iguais à integral iterada dada. ∫ 0 1 ∫ y 1 ∫ 0 y f x , y , zd z d x d y
Expresse a integral ∭ E f x , y , zd V como uma integral iterada de seis modos diferentes, onde E é o sólido limitado pelas superfícies dadas. y = x 2 ,z = 0 ,y + 2 z = 4
Esboce o sólido cujo volume é dado pela integral iterada. ∫ 0 1 ∫ 0 1 - x ∫ 0 2 - 2 z d y d z d x
Escreva cinco outras integrais iteradas que sejam iguais à integral dada. ∫ 0 1 ∫ y 1 ∫ 0 z f x , y , zd zd yd x
Expresse a integral ∭ E f x , y , z d V como uma integral iterada de seis modos diferentes, onde E é o solido limitado pelas superfícies dada. x 2 + z 2 = 4 ,y = 0 , y = 6