Exercícios Resolvidos de Mudança da Ordem de Integração

George B. Thomas, Cálculo Volume II, 11ª ed. São Paulo: Pearson Education do Brasil Ltda., 2009 - Modificado

Esboce o gráfico associado à seguinte integral:

- 1 1 x 2 1 0 1 - y d z d y d x

Passo 1

Vamos especificar primeiro os limites que podemos tirar a partir das integrais. Pela integral de fora:

- 1 x 1

Pela integral do meio:

x 2 y 1

Pela integral de dentro:

0 z 1 - y

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Vamos analisar os nossos dois primeiros limites. Perceba que eles estão no plano x y sendo que, em y , vamos ter essas duas curvas:

y = x 2

y = 1

Graficamente isso fica assim:

Passo 3

Tendo determinado a região em duas dimensões, vamos expandi-la para a terceira, no nosso caso, o eixo z .

Pelo passo 1, vemos que z está limitado pelos planos z = 0 e z = 1 - y . Em três dimensões e limitados pela região encontrada no 2 D temos o seguinte:

z = 0

Agora para o plano z = 1 - y também limitado por aquela região em 2 D :

Perceba que ambos os planos existem em outros pontos, só que só queremos a região expandida em relação àquela encontrada no 2 D !

Pronto, agora é só ver qual o sólido que está entre essas regiões. Fica assim:

Resposta

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