Exercícios Resolvidos de Mudança da Ordem de Integração

Ver Teoria

Enunciado

Calcule

∫ - 1 1 ∫ 0 1 ∫ y 1 e x + cos ⁡ x + z x d x d y d z

Passo 1

Bem, aqui de cara logo pensamos em resolver a integral, porém começar resolvendo o d x vai ser muito trabalhoso, então vamos mudar os limites de integração para facilitar nossa vida.

Se liga que a variação do eixo z está entre termos constante sendo, - 1 ≤ z ≤ 1 , com isso não vamos precisar nos preocupar em mudar esses limites, então vamos nos preocupar apenas com o x   e y .

Desenhando os limites de x e y temos isso:

Passo 2

Observando o desenho conseguimos escrever o x da seguinte maneira 0 ≤ x ≤ 1 e o y como 0 ≤ y ≤ x . E nosso z como não mudou continua sendo - 1 ≤ z ≤ 1 .

Passo 3

Reescrevendo nossa integral com os limites de integração e mudando a ordem temos

∫ - 1 1 ∫ 0 1 ∫ 0 x e x + cos ⁡ x + z x d y d x d z

Passo 4

Integrando em relação a y , temos:

= ∫ - 1 1 ∫ 0 1 e x + cos ⁡ x + z x y y = 0 y = x d x d z

= ∫ - 1 1 ∫ 0 1 ( e x + cos ⁡ x + z ) d x d z

Passo 5

Agora, integramos em relação a x :

= ∫ - 1 1 e x + sin ⁡ x + z x x = 0 x = 1

= ∫ - 1 1 ( e + sin ⁡ 1 + z - 1 ) d z

Passo 6

Por fim vamos integrar em relação a z , temos:

= e z + sin ⁡ 1 z + z 2 2 - z z = - 1 z = 1

= e + sin ⁡ 1 + 1 2 - 1 - ( - e - sin ⁡ 1 + 1 2 + 1 )

= 2 e + 2 sin ⁡ 1 - 2  

= 2 ( e + sin ⁡ 1 - 1 )

Resposta

∫ - 1 1 ∫ 0 1 ∫ y 1 e x + cos ⁡ x + z x d x d y d z = 2 ( e + sin ⁡ 1 - 1 )

Exercícios de Livros Relacionados

Escreva cinco outras integrais iteradas que sejam iguais à integral iterada dada. ∫ 0 1 ∫ y 1 ∫ 0 y f x , y , zd z d x d y
Expresse a integral ∭ E f x , y , zd V como uma integral iterada de seis modos diferentes, onde E é o sólido limitado pelas superfícies dadas. y = x 2 ,z = 0 ,y + 2 z = 4
Esboce o sólido cujo volume é dado pela integral iterada. ∫ 0 1 ∫ 0 1 - x ∫ 0 2 - 2 z d y d z d x
Escreva cinco outras integrais iteradas que sejam iguais à integral dada. ∫ 0 1 ∫ y 1 ∫ 0 z f x , y , zd zd yd x
Expresse a integral ∭ E f x , y , z d V como uma integral iterada de seis modos diferentes, onde E é o solido limitado pelas superfícies dada. x 2 + z 2 = 4 ,y = 0 , y = 6