Exercícios Resolvidos de Mudança da Ordem de Integração

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Enunciado

Descreva quatro outras ordens de integração distintas, além da ordem dada, para a integral

∫ 0 1 ∫ 0 1 - z ∫ x 1 - x d y   d x   d z

Passo 1

E aí pessoal, tudo bem? O problema nos deu essa integral tripla aqui

∫ 0 1 ∫ 0 1 - z ∫ x 1 - x d y   d x   d z  

E pediu para invertermos os limites de integração de várias formas!

Mas você lembra como fazer isso?

Primeiro precisamos entender quais são as curvas delimitadoras, e isso a gente tira dos limites de integração:

x < y < 1 - x

0 < x < 1 - z

0 < z < 1

Então estamos falando dessas curvas aqui

y 2 = 1 - x

y = x

x 2 = 1 - z

z = 0

z = 1

x = 0

Então a ideia é selecionar uma variável para ir primeiro na integral, ver os seus limites pelas equações aí em cima. E depois as outras variáveis que sobrarem, fazer um esboço como elas são no plano que contenha só elas.

Mas relaxa, vou fazer passo a passo com você!

Passo 2

Começando por deixar z em primeiro. As equações que levam ele são

z = 0

z = 1 - x 2

Então esses são nossos limites!

0 < z < 1 - x 2

Tranquilo até aqui?

x y , com essas equações aqui:

y = x

y = 1 - x

x = 0

Igualando as duas equações podemos achar o ponto onde essas curvas se encontram,

x = 1 - x → x = - 1 + 5 2

Fazendo báskara e pegando apenas a raiz positiva! E isso será importante quando integrarmos na ordem d y d x , pois em x temos uma quebra de limite de integração. Até a curva laranja é um limite e depois é outro!

Assim a ordem d z d y d x fica

∫ 0 1 - x 2 ∫ 0 x ∫ 0 - 1 + 5 2 d z   d y   d x + ∫ 0 1 - x 2 ∫ 0 1 - x ∫ - 1 + 5 2 1 f x , y , z d z   d y   d x

Já em d x   d y não precisamos quebrar! Pois y = x , daí temos na ordem d z   d x   d y

∫ 0 1 - x 2 ∫ y 1 - y 2 ∫ 0 1 f x , y , z d z   d x   d y

Passo 3

Agora vamos deixar d y primeiro. Note que o limite mais interno fica o mesmo do enunciado

x < y < 1 - x

Agora temos que analisar o plano x z

z = 0

z = 1 - x 2

x = 0

então queremos a região apenas do primeiro quadrante:

assim a ordem d y   d z   d x fica

∫ x 1 - x ∫ 0 1 - x 2 ∫ 0 1 f x , y , z d y   d z   d x

Passo 4

Por fim podemos analisar deixando o x primeiro. Das equações temos que

0 < x < 1 - y 2

E no plano y z

1 - z = 0 → z = 1

1 - y 2 = 0 → y = ± 1

Então temos uma região retangular! E usando a ordem d x   d z   d y temos

∫ 0 1 - y 2 ∫ 0 1 ∫ - 1 + 1 f x , y , z d x   d z   d y

E é isso! Encontramos quatro ordens diferentes de integração para essa integral tripla!

Tem outras! Você pode seguir na investigação!

Espero ter ajudado! Vamos para a próxima?

Resposta

∫ 0 1 - x 2 ∫ 0 x ∫ 0 - 1 + 5 2 f ( x , y , z ) d z   d y   d x + ∫ 0 1 - x 2 ∫ 0 1 - x ∫ - 1 + 5 2 1 f ( x , y , z ) d z   d y   d x

∫ 0 1 - x 2 ∫ y 1 - y 2 ∫ 0 1 f ( x , y , z ) d z   d x   d y

∫ x 1 - x ∫ 0 1 - x 2 ∫ 0 1 f x , y , z d y   d z   d x

∫ 0 1 - y 2 ∫ 0 1 ∫ - 1 + 1 f x , y , z d x   d z   d y

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