Exercícios Resolvidos de Mudança da Ordem de Integração

George B. Thomas, Cálculo Volume II, 11ª ed. São Paulo: Pearson Education do Brasil Ltda., 2009

Calcule a integral, mudando a ordem de integração de forma apropriada

0 1 0 1 x 2 1 12 x z   e z y 2 d y d x d z

Passo 1

Assim como aconteceu no exemplo da teoria, vemos que não conseguiríamos integrar direto em função de y . Portanto, vamos ter que integrar alguma outra variável antes, certo?

Vamos antes entender o nosso sólido:

0 x 1

x 2 y 1

0 z 1

Esboçando esses limites temos:

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Como não queremos integrar em y , vamos mudar a ordem de integração para d x d y d z

No plano x y , tínhamos y limitado por

y = x 2

y = 1

E x limitado por

x = 0

x = 1

No plano x y :

Invertendo a ordem de integração:

y = x 2   x = ± y

Como temos que x é positivo, vamos pegar somente a raiz positiva

0 x y

0 y 1

Os limites de z continuam os mesmos:

0 z 1

Passo 3

Reescrevendo a integral:

0 1 0 1 0 y 12 x z e z y 2 d x d y d z

Passo 4

Integrando em x :

0 1 0 1 12 z e z y 2 x 2 2 0 y d y d z = 0 1 0 1 6 y z e z y 2 d y d z

Para integrar em y , vamos fazer a substituição

y 2 = u

2 y d y = d u

Os limites em u ficam:

u = 0 2 = 0

u = 1 2 = 1

Temos então a integral:

0 1 0 1 3 z e z u d u d z

Integrando em u :

3 . 0 1 e u z u = 0 u = 1 = 3 0 1 e z - e 0 d z = 3 0 1 e z - 1 d z

Integrando em z :

3 e z - z z = 0 z = 1 = 3 e - 1 - e 0 - 0 =

3 e - 2 = 3 e - 6  

Resposta

3 e - 6

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