Exercícios Resolvidos de Mudança da Ordem de Integração

George B. Thomas, Cálculo Volume II, 11ª ed. São Paulo: Pearson Education do Brasil Ltda., 2009

Calcule a integral mudando a ordem de integração de forma apropriada

0 2 0 4 - x 2 0 x sen 2 z 4 - z d y d z d x

Passo 1

Vemos que o problema nessa integral não é a primeira integração, em y , mas sim depois para integrar em z , portanto vamos ter que mudar a ordem de integração, mas vamos manter a primeira integral em y , vai ficar então d y d x d z .

Olhando os limites dados pela integral, vemos que o nosso sólido é definido por:

0 x 2

0 y x

0 z 4 - x 2

Nosso esboço fica:

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Como vamos manter a primeira integração em y , podemos analisar somente o plano x z , nele tínhamos z limitado por

z = 4 - x 2

z = 0

E x limitado por

x = 0

x = 2

No gráfico temos:

Invertendo a ordem de integração:

z = 4 - x 2   x = ± 4 - z

Como temos x positivo, vamos somente considerar a raiz positiva:

0 x 4 - z

0 z 4

Como y não foi alterado, seus limites continuam

0 y x

Passo 3

Colocando tudo na integral mudada, temos:

0 4 0 4 - z 0 x sen 2 z 4 - z d y d x d z

Passo 4

Integrando em y

0 4 0 4 - z x sen 2 z 4 - z d x d z

Integrando em x

0 4 x 2 2 . sen 2 z 4 - z x = 0 x = 4 - z d z = 0 4 4 - z 2 . sen 2 z 4 - z d z  

= 1 2 0 4 sen 2 z d z

Integrando em z

1 2 - cos 2 z 2 z = 0 z = 4 = - 1 4 cos 8 - cos 0 = 1 - cos 8 4  

Resposta

1 - cos 8 4

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