Exercícios Resolvidos de Mudança da Ordem de Integração

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Enunciado

Calcule a integral:

∫ 0 1 ∫ z 1 3   1 ∫ 0 ln ⁡ 3 e 2 x sen ⁡ π y 2 y 2   d x   d y   d z

Mudando a ordem de integração de maneira apropriada.

Passo 1

Vamos ver se podemos simplificar um pouco essa integral antes de resolver.

O x não aparece em nenhum dos limites de integração, e a função e 2 x e que ele aparece é bastante simples de integrar.

Então vamos começar integrando em relação a x . Nesse caso, podemos pensar em todos os outros fatores da função como constantes, e colocá-los “para fora” da integral:

∫ 0 1 ∫ z 1 3   1 sen ⁡ π y 2 y 2 d y   d z ∫ 0 ln ⁡ 3 e 2 x   d x

A integral de e 2 x é 1 2 e 2 x , então:

∫ 0 1 ∫ z 1 3   1 sen ⁡ π y 2 y 2 d y   d z 1 2 e 2 ln ⁡ 3 - e 0

Lembrando que 2 ln ⁡ 3 = ln ⁡ 3 2 = l n ⁡ ( 9 ) , e também que e ln ⁡ x = x , obtemos:

∫ 0 1 ∫ z 1 3   1 sen ⁡ π y 2 y 2 d y   d z 1 2 9 - 1 = ∫ 0 1 ∫ z 1 3   1 sen ⁡ π y 2 y 2 d y   d z 4

E então nossa integral vira:

4 ∫ 0 1 ∫ z 1 3   1 sen ⁡ π y 2 y 2 d y   d z

Agora sim, vamos tentar inverter a ordem de integração.

Passo 2

O primeiro passo para inverter a ordem de integração é desenhar a região no plano z y .

Nesse caso, o eixo horizontal vai representar o z . Na integral original, ele varia nesse intervalo:

0 ≤ z ≤ 1

E para cada um desses valores de z , o y varia entre as funções y = 1 e y = z 1 / 3 :

z 1 / 3 ≤ y ≤ 1

Vamos desenhar isso no plano:

Para inverter a ordem de integração, vamos mudar a situação original. Agora o y vai ser limitado por constantes:

0 ≤ y ≤ 1

E para cada ponto y nesse intervalo, o z (que está no eixo horizontal), vai desde o 0 até a função y = z 1 / 3 , ou z = y 3 , ou seja:

0 ≤ z ≤ y 3

Então nossa integral fica assim:

4 ∫ 0 1 ∫ 0   y 3 sen ⁡ π y 2 y 2 d z   d y

Passo 3

Ótimo, agora como o z não aparece em nenhum limite de integração ou na função, podemos escrever essa integral da seguinte forma:

4 ∫ 0 1 sen ⁡ π y 2 y 2 d y ∫ 0   y 3 d z

E como aquele integral entre parênteses resulta em y 3 , obtemos o seguinte:

4 ∫ 0 1 sen ⁡ π y 2 y 5 d y

Beleza, agora vamos tentar usar uma substituição:

u = π y 2

d u = 2 π y     d y         ⇒           d y = d u 2 π y

E os novos limites de integração serão:

y = 0         ⇒           u = π 0 2 = 0

y = 1         ⇒           u = π 1 2 = π

Então:

4 ∫ 0 π sen ⁡ u y 5 d u 2 π y = 2 π ∫ 0 π sen ⁡ u y 4   d u

Agora precisamos dar um jeito naquele y 4 , vamos escrever ele em função do u :

u = π y 2         ⇒           u 2 = π 2 y 4         ⇒           y 4 = u 2 π 2

Então:

2 π ∫ 0 π sen ⁡ u   u 2 π 2   d u = 2 π 3   ∫ 0 π sen ⁡ u   u 2   d u

Beleza, agora temos uma integral bem mais razoável.

Passo 4

Para simplificar, vamos tentar simplesmente achar a integral indefinida, e depois colocamos as constantes e os limites de integração:

∫ u 2 sen ⁡ ( u )   d u

Lembra da fórmula para integração por partes?

∫ U   d V = U V - ∫ V   d U

Se chamarmos U = u 2 e d V = sen ⁡ u , então d U = 2 u e V = - c o s ⁡ ( u ) , jogando isso na fórmula:

∫ u 2 sen ⁡ ( u )   d u = - u 2 cos ⁡ u + ∫ 2 u . cos ⁡ u   d u

E integrando por partes de novo para encontrar aquela segunda integral. Vamos chamar U = 2 u e d V = cos ⁡ u , então d U = 2 e V = sen ⁡ u

∫ 2 u . cos ⁡ u = 2 u . sen ⁡ u - ∫ 2 sen ⁡ u d u = 2 u . sen ⁡ ( u ) + 2 cos ⁡ ( u )  

Jogando isso na equação anterior:

∫ u 2 sen ⁡ ( u )   d u = - u 2 cos ⁡ u + ∫ 2 u . cos ⁡ u   d u

Então a integral que queríamos calcular desde o início dá:

∫ u 2 sen ⁡ ( u )   d u = - u 2 cos ⁡ u + 2 u sen ⁡ ( u ) + 2 cos ⁡ ( u )

Passo 5

Agora que sabemos a integral indefinida, vamos concluir a questão:

I = 2 π 3   ∫ 0 π sen ⁡ u   u 2   d u

I = 2 π 3 - π 2 cos ⁡ π + 2 π sen ⁡ ( π ) + 2 cos ⁡ ( π ) - - 0 2 cos ⁡ 0 + 2 ( 0 ) sen ⁡ ( 0 ) + 2 cos ⁡ ( 0 )

Como sen ⁡ π = 0 , sen ⁡ 0 = 0 , cos ⁡ π = - 1 , cos ⁡ 0 = 1 , então:

I = 2 π 3 π 2 + 0 - 2 - 0 + 0 + 2 = 2 π 3 π 2 - 4

Pronto! A essa altura pode até parecer muito distante, mas esse é o valor daquela integral tripla do enunciado!

Resposta

O valor da integral é 2 π 3 ( π 2 - 4 )

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