Exercícios Resolvidos de Mudança da Ordem de Integração

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Enunciado

Considere a região espacial

U = x , y , z ∈ R 3   0 ≤ z ≤ 2 x + y ,     x + y ≤ 1 ,     x ≥ 0 ,     y ≥ 0  

  1. Seja F a parte da fronteira de U que está no plano x + y = 1
    1. Descreva F usando desigualdades
    2. Calcule a área de F

Passo 1

a )

i )

Ele começou dizendo que, em F , vamos ter x + y = 1 . Sabemos que 0 ≤ z ≤ 2 x + y , vamos substituir os valores de x + y na desigualdade de z , vamos ter

0 ≤ z ≤ 2 1

0 ≤ z ≤ 2

Podemos escrever F como

F = x , y , z ∈ R 3   0 ≤ z ≤ 2 ,     x + y = 1 ,     x ≥ 0 ,     y ≥ 0  

Passo 2

i i )

Antes de fazermos a área, vamos entender o que é a região F , ela vai ser o plano x + y = 1 limitado por z , indo de 0 à 2 . O gráfico fica

Isso vai ser um retângulo com base sendo a distância entre os pontos que esse plano corta o eixo x e y , e a altura sendo 2 . Vamos descobrir as coordenadas desses pontos

Eixo x , vamos ter y = 0

x + 0 = 1

x = 1

Eixo y , vamos ter x = 0

0 + y = 1

y = 1

Então a base vai ser a distância entre 1,0 e 0,1 , chamando essa base de b

b 2 = 1 - 0 2 + 0 - 1 2

b 2 = 1 + 1

b 2 = 2

b = 2

A área vai ser

A F = b a s e ∙ A l t u r a

A F = 2 ∙ 2

A F = 2 2

Resposta

  1. F = x , y , z ∈ R 3   0 ≤ z ≤ 2 ,     x + y = 1 ,     x ≥ 0 ,     y ≥ 0  
  2. A F = 2 2

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