Exercícios Resolvidos de Mudança da Ordem de Integração

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Enunciado

Considere U ⊂ R 3 a região do espaço definida por

U = x , y , z ∈ R 3 |   x 2 + y 2 ≤ 2 + z 2 ,   0 ≤ z ≤ 1 , y ≥ 0

E seja F a fronteira de U .

a) Esboce U .

b) Determine F = U ∩ x , y , z ∈ R 3   |   x 2 + y 2 = 2 + z 2 usando igualdades e desigualdades.

c) Calcule o volume de U .

Passo 1

a) Vamos lá, para esboçar essa região, basta desenvolver cada desigualdade. Para a primeira temos:

x 2 + y 2 ≤ 2 + z 2

Ou seja, se temos a superfície x 2 + y 2 - z 2 = 2 , estamos na região dentro dela :D

Mas que superfície é essa?

Veja que, se zerarmos a variável z , teremos uma circunferência x 2 + y 2 = 2 centrada na origem, no plano O x y . Se zerarmos a variável x , teremos a hipérbole y 2 - z 2 = 2 , no plano O y z . E, zerando a variável y , teremos a hipérbole x 2 - z 2 = 2 no plano O x z . Assim, o que temos aqui é o hiperboloide de uma folha centrado na origem:

Passo 2

Vamos agora às outras desigualdades? Para a segunda, teremos:

0 ≤ z ≤ 1

Ou seja, tendo a região dentro do hiperboloide, estamos tratando apenas do “tronco” entre z = 0 e z = 1 !

E, pela última desigualdade, teremos:

y ≥ 0

Isso significa que estamos pegando apenas metade dele, ou seja, a metade que tem y positivo! O esboço de U , portanto, fica:

Passo 3

b) Vamos à próxima! Agora querem a região de interseção entre U e o conjunto de pontos dado por:

x , y , z ∈ R 3   |   x 2 + y 2 = 2 + z 2

Esse conjunto é uma superfície, certo? Ela é

x 2 + y 2 = 2 + z 2

Como U representa um volume, e estamos fazendo sua interseção com essa superfície, então o resultado será outra superfície, beleza?

Se você reparar, essa é a mesma equação da superfície que contorna U , não é? Exatamente! Então, se fizermos a interseção de U com seu próprio contorno, teremos:

F = x , y , z ∈ R 3 |   x 2 + y 2 = 2 + z 2 ,   0 ≤ z ≤ 1 , y ≥ 0

Viu como é singela a diferença? É praticamente a igual, só que dessa vez só temos o contorno de U :D

Passo 4

c) Show, agora só falta calcular o volume de U ! Como aquele hiperboloide que tínhamos era um amontoado de discos, um em cima do outro, e a região U é a metade do volume desse hiperboloide, então só temos que resolver a integral:

1 2 ∫ 0 1 π r 2 d z

Ou seja, vamos integrar entre z = 0 e z = 1 os discos de área π r 2 , e, depois, dividir esse resultado por 2 !

Agora só temos que encontrar esse raio ao quadrado em função de z ... Veja, se temos o hiperboloide:

x 2 + y 2 = 2 + z 2

E, para cada circunferência, temos x 2 + y 2 = r 2 , então já temos que r 2 = 2 - z 2 ! E a integral fica:

1 2 ∫ 0 1 π 2 + z 2 d z

Integrando em relação a z , teremos:

1 2 2 π z + π z 3 3 0 1 = 7 π 6

E aí está, o volume é 7 π 6 !!

Resposta

a)

b) F = x , y , z ∈ R 3 |   x 2 + y 2 = 2 + z 2 ,   0 ≤ z ≤ 1 , y ≥ 0

c) 7 π 6

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