Exercícios Resolvidos de Mudança da Ordem de Integração

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Enunciado

Considere f x , y , z = y 2 . Seja a região espacial

U = x , y , z ∈ R 3 1 ≤ x 2 + y 2 + z 2 ≤ 4 ,   x ≥ 0 , y ≥ 0

E seja S a fronteira de U .

  1. Esboce S ∩ x , y , z ∈ R 3 x 2 + y 2 + z 2 = 4
  2. Esboce S ∩ x , y , z ∈ R 3 x = 0

Passo 1

a)

Em questões de superfícies, o primeiro passo é sempre identificar com qual tipo de superfície estamos lidando. Em U , temos:

1 ≤ x 2 + y 2 + z 2 ≤ 4

Isso lembra muito a equação de uma esfera né?

x 2 + y 2 + z 2 = r ²

A inequação também pode ser escrita como

1 ² ≤ x 2 + y 2 + z 2 ≤ 2 ²

Temos então uma superfície entre esferas, uma de raio 1 e outra de raio 2 . Na verdade, como x ≥ 0 e y ≥ 0 , U   vai ser um pedaço dessa superfície.

Passo 2

Vamos dar uma olhada nessas esferas (atenção, são apenas as cascas), a de raio 1 (em vermelho), e a de raio 2 (em azul claro):

Agora, se determinarmos x ≥ 0 e y ≥ 0 vamos ter:

Ou, vendo de lado:

Nessa figura dá pra ver bem que as esferas são vazias, só temos as cascas. E a superfície U é a região entre essas duas cascas.

Então a região U é algo dessa forma:

Vamos entender agora como é a região S ∩ x , y , z ∈ R 3 x 2 + y 2 + z 2 = 4

Repara que ela é a interseção de S com a esfera x 2 + y 2 + z 2 = 4 , então vai ser só a superfície da esfera de fora. Vamos ter

Pode ser difícil de esboçar, eu inclusive tenho bastante dificuldade com isso!

Mas têm esboços piores que esse: aqui basicamente a gente tem que tentar desenhar uma esfera de raio 2 centrada na origem e apagar 3 / 4 dela, deixando só onde x e y são positivos! Tá, também não é muito fácil... Mas com prática fica melhor! :) Enfim, o esboço seria essa figura aí de cima.

Passo 3

b)

Vamos entender agora como é a região S ∩ x , y , z ∈ R 3 x = 0

Repara que ela é a interseção de S com o plano x = 0 , então vai ser só a parte vermelha que vimos do gráfico de S , ou seja, é o plano x = 0 que está dentro das esferas. Facilitaram nossa vida, agora só vamos trabalhar com 2 dimensões! Vamos ter

Ou:

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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Escreva cinco outras integrais iteradas que sejam iguais à integral iterada dada. ∫ 0 1 ∫ y 1 ∫ 0 y f x , y , zd z d x d y
Expresse a integral ∭ E f x , y , zd V como uma integral iterada de seis modos diferentes, onde E é o sólido limitado pelas superfícies dadas. y = x 2 ,z = 0 ,y + 2 z = 4
Esboce o sólido cujo volume é dado pela integral iterada. ∫ 0 1 ∫ 0 1 - x ∫ 0 2 - 2 z d y d z d x
Escreva cinco outras integrais iteradas que sejam iguais à integral dada. ∫ 0 1 ∫ y 1 ∫ 0 z f x , y , zd zd yd x
Expresse a integral ∭ E f x , y , z d V como uma integral iterada de seis modos diferentes, onde E é o solido limitado pelas superfícies dada. x 2 + z 2 = 4 ,y = 0 , y = 6