Exercícios Resolvidos de Mudança da Ordem de Integração

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Enunciado

Questão 4: Considerando o sólido

E = x ,   y ,   z ∈ R 3 ;     0 ≤ y ≤ 1 ,   y ≤ x ≤ 1 ,   0 ≤ z ≤ 6 y e x 3

Resolva o que se pede:

b) Calcule o volume de E .

Passo 1

Para o volume, podemos sempre calcular uma integral tripla dessa forma aqui:

V o l E = ∭ E   1   d V

Bem, normalmente é recomendado desenhar o sólido E primeiro, porém isso está muito fora de questão aqui, afinal veja que uma das superfícies é z = 6 y e x 3 (e não fazemos a menor ideia de quem seja esse cara). Contudo isso não é tão importante aqui, pois nós temos o sólido E já bem descrito em termos de intervalos para as variáveis:

  0 ≤ y ≤ 1 y ≤ x ≤ 1 0 ≤ z ≤ 6 y e x 3  

Podemos então escrever a integral tripla lembrando-se da ordem: O intervalo mais externo vem o intervalo numérico. A integral do meio pertence aquele que varia entre funções de uma única entre variável, e mais interna fica sendo...

V o l E = ∫ 0 1 ∫ y 1 ∫ 0 6 y e x 3   d z d x d y

Cuidado! A integral sempre DEVE ser montada dessa forma como explicado, ok? Então vamos calcula-la?

Passo 2

Começando pela integral de dentro...

V o l E = ∫ 0 1 ∫ y 1 ∫ 0 6 y e x 3   d z d x d y =

∫ 0 1 ∫ y 1 z 0 6 y e x 3 d x d y =

∫ 0 1 ∫ y 1 6 y e x 3   d x d y

Se fossemos calcular essa próxima integral de dentro, veja nos daríamos com um problema:

∫ 0 1 ∫ y 1 6 y e x 3   d x d y = ∫ 0 1 6 y ∫ y 1 e x 3   d x d y

Veja que não existe nenhum método conhecido, até agora, que a gente poderia utilizar para resolver essa integral do meio em x . Mas calma, esse problema talvez pode ser resolvido (e vai) se fizermos uma mudança na ordem de integração!

Passo 3

OK! Mas a gente não pode fazer uma mudança de qualquer forma. Para fazê-la, antes é necessário desenhar a região. Ai você poderia me perguntar:

“Mas a gente não ia deixar de desenha-la porque ela é muito complicada?”

NÃO!!! Tome cuidado, pois o que é muito complicado de se desenhar é o SÓLIDO E. O que vamos desenhar não é o sólido, e sim a região de variação das variáveis x e y . Para fazer isso inclusive, lembremos que...

0 ≤ y ≤ 1

y ≤ x ≤ 1

Veja que dessas inequações, tiramos 4 equações importantes:

y = 0

y = 1

x = 1

x = y

A qual as três equações nos representa essa retas aqui:

Enquanto x = y ...

Logo, a região de variação de x e y se encontra no interior de todas essas retas:

Passo 4

Bem, o que vamos fazer agora é basicamente escrever essa região, mas de forma diferente: ao invés de ter y variando entre números, vamos pegar o x fazendo esse papel:

0 ≤ x ≤ 1

Enquanto o y , no caso, agora fica variando da base y = 0 até a reta y = x :

0 ≤ y ≤ x

Logo, a gente pode voltar a integral e trocar os intervalos, bem como inverter a ordem de interação:

∫ 0 1 ∫ y 1 6 y e x 3   d x d y = ∫ 0 1 ∫ 0 x 6 y e x 3   d y d x

Agora podemos continuar a integral! Vamos lá?

Passo 5

Integrando agora em relação a y e considerando e x 3 como uma constante...

∫ 0 1 ∫ 0 x 6 y e x 3   d y d x = ∫ 0 1 e x 3 ∫ 0 x 6 y   d y d x =

∫ 0 1 e x 3 6 y 2 2 0 x d x =

∫ 0 1 e x 3 3 x 2 d x

Agora, finalmente, conseguimos calcular essa integral fazendo uma mudança:

x 3 = u           →                 d u = 3 x 2 d x

Trocando também os limites...

x = 0                   →                         u = 0 3 = 0

x = 1                   →                         u = 1 3 = 1

∫ 0 1 e x 3 3 x 2 d x = ∫ 0 1 e u d u =

e 1 - e 0 =

e - 1

Resposta

e - 1

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