Exercícios Resolvidos de Mudança da Ordem de Integração

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Enunciado

Questão 4: Considere o sólido S limitado pelos planos y + z = 1 , y = x , x = 0 e z = 0 .

  1. Encontre as integrais iteradas que representam o volume do sólido.
    1. V S = ∭ S   d z d y d x
    2. V S = ∭ S   d y d z d x
  2. Calcule uma das integrais.

Dica: Faça um esboço do sólido.

Passo 1

Vamos seguir a dica do nosso problema então e começar desenhando a região! Esse sólido S é formado primeiramente pelos planos x = 0 e z = 0 :

Em seguida a gente delimita mais um pouquinho desenhando o plano y + z = 1 (se quiser desenha-lo bonitinho, sugiro primeiro fazer a reta no plano y z e depois “puxa-la” em direção ao eixo x ):

Por fim, devemos representar a outra base que é formada pelo plano y = x (mesma dica anterior):

Veja o nosso sólido aqui então:

(ele é o um pedaço de tetraedro, por curiosidade )

Passo 2

a )   i :

Ok, para o primeiro item dessa letra, observe que queremos descrever o sólido necessariamente nessa ordem aqui:

V S = ∭ S   d z d y d x

Ou seja, devemos ter o z variando entre funções que envolvem x e y . O y deve variar entre funções de x e o x ... Deve variar entre constantes! Afinal é assim que podemos montar uma integral, se lembra?

Ok! Se o z deve variar entre funções de x e y , então temos que dar uma olhada fixa para o nosso sólido e reparar que aqui o z está variando entre uma base de z = 0   e um teto formado pelo plano y + z = 1 ...

0 ≤ z ≤ 1 - y

Para a variação de x e y ... Bem! Acompanha-me! ;)

Passo 3

Já o y e o x , para facilitar, podemos olhar para a projeção do sólido no plano x y :

Veja que se quisermos ter o x variando entre números, precisamos encontrar as coordenadas daquele ponto em verde. Veja que ele é a intersecção entre a reta y = 1 e a reta y = x , onde tiramos que...

x = 1

Logo:

0 ≤ x ≤ 1

Enquanto o y deve variar entre a base reta de y = x até a reta y = 1 ...

x ≤ y ≤ 1

Passo 4

Ok! Então, com essas três variações, podemos montar a integral:

0 ≤ z ≤ 1 - y x ≤ y ≤ 1 0 ≤ x ≤ 1                                         →                                 V S = ∭ S   d z d y d x =

∫ 0 1 ∫ x 1 ∫ 0 1 - y d z d y d x

Passo 5

a )   i i :

MAS AINDA TEM TRABALHO A FAZERMOS! Vamos agora vamos definir essa ordem aqui:

V S = ∭ S   d y d z d x

Ou seja, dessa vez o y deve variar entre funções das outras duas variáveis, em seguida o z deve variar apenas entre funções de x , enquanto o x continua variando entre números.

Veja no sólido que temos o y variando da parede definida pelo plano vermelho, até ao lado do plano azul:

Ou seja:

x ≤ y ≤ 1 - z

Passo 6

Agora para descrever a variação de z e x , podemos olhar dessa vez para a projeção do sólido no plano x z ...

Veja que essa reta grossa na diagonal é formada pela sombra da intersecção entre os dois planos: o azul e o vermelho:

P l a n o �� a z u l P l a n o   V e r m e l h o                     →                               y = 1 - z y = x                     →

x = 1 - z                 o u               z = 1 - x

Logo, o z varia dessa vez de 0 até...

0 ≤ z ≤ 1 - x

Enquanto isso, o x continua variando de 0 até 1 :

0 ≤ x ≤ 1

Passo 7

Ok! Então, com essas três variações, podemos montar a integral:

x ≤ y ≤ 1 - z 0 ≤ z ≤ 1 - x 0 ≤ x ≤ 1                                         →                                 V S = ∭ S   d y d z d x =

∫ 0 1 ∫ 0 1 - x ∫ x 1 - z d y d z d x

Passo 8

b )

Beleza! Então agora podemos escolher uma das integrais e calcula-las. Vamos com essa primeira aqui:

∫ 0 1 ∫ x 1 ∫ 0 1 - y d z d y d x = ∫ 0 1 ∫ x 1 ∫ 0 1 - y d z d y d x =

Calculando a integral de dentro...

∫ 0 1 ∫ x 1 z 0 1 - y d y d x = ∫ 0 1 ∫ x 1 1 - y d y d x =

Calculando agora a integral do meio...

∫ 0 1 ∫ x 1 1 - y d y d x = ∫ 0 1 y - y 2 2 x 1 d x =

∫ 0 1 1 - 1 2 - x - x 2 2 d x = ∫ 0 1 1 2 - x + x 2 2 d x =

1 2 x - x 2 2 + x 3 6 0 1 = 1 2 - 1 2 + 1 6 =

1 6

Resposta

a )   i : ∫ 0 1 ∫ x 1 ∫ 0 1 - y d z d y d x

a )   i i :   ∫ 0 1 ∫ 0 1 - x ∫ x 1 - z d y d z d x

b ) V S = 1 6

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