Exercícios Resolvidos de Norma de um Vetor e Distância entre dois Vetores

UFRJ – 2015.2 - Lista 5

Seja Equation . Classifique em Verdadeira ou Falsa as afirmações abaixo:

Equation Cada componente de Equation é o produto interno de Equation com uma linha de Equation

Equation Se tanto Equation quanto as linhas de Equation são vetores unitários, então todas as componentes de Equation tem módulo menor que Equation

Equation Se Equation é não-nulo e pertence à imagem de Equation , então Equation nunca será o vetor nulo

Equation Se Equation pertence ao núcleo de Equation , então Equation sempre será o vetor nulo

Passo 1

Vamos verificar letra por letra então ;)

Equation Cada componente de Equation é o produto interno de Equation com uma linha de Equation

Bom, o que fazemos quando multiplicamos uma matriz por um vetor? Vamos tomar Equation uma matriz Equation e Equation um vetor do Equation :

Equation

Equation

Logo:

Equation

Equation

Fiz com vetores do Equation e uma matriz Equation quadrada pra facilitar o entendimento, mas não é difícil perceber que isso vale para qualquer produto matriz vetor. Logo, essa afirmativa é verdadeira.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Equation Se tanto Equation quanto as linhas de Equation são vetores unitários, então todas as componentes de Equation tem módulo menor que Equation

Óbviamente não. Vamos pegar um exemplo qualquer:

Equation

Todas as linhas de Equation são vetores unitários, assim como o vetor Equation . No entanto, o módulo da primeira componente de Equation vale Equation . Logo, não possui módulo menor que Equation .

Logo, falsa.

Passo 3

Equation Se Equation é não-nulo e pertence à imagem de Equation , então Equation nunca será o vetor nulo

Essa é chatinha. Vou te dar um contra-exemplo pra provar que é falsa.

Equation

Bom, Equation claramente não é o vetor nulo. Além disso, temos que:

Equation

Logo, Equation pertence à imagem de Equation . No entanto, vemos que Equation é o vetor nulo. Portanto, a afirmativa é falsa.

Passo 4

Equation Se Equation pertence ao núcleo de Equation , então Equation sempre será o vetor nulo

Verdadeira. Se tiver marcado falsa vou até sua casa te bater rapá. Por definição, se Equation pertence ao núcleo de Equation , temos Equation . Logo, Equation sempre será o vetor nulo.

Resposta

Equation V

Equation F

Equation F

Equation V

Esse conteúdo é exclusivo para cadastrados.

Cadastre-se grátis no maior portal de exatas do Brasil!

Relaxa, não vamos publicar nada no seu nome.

  • Resumões direto ao ponto
    Resumões
    direto ao ponto
  • Exercícios resolvidos passo a passo
    Exercícios resolvidos
    passo a passo
  • Videoaulas incríveis
    Videoaulas
    incríveis
  • Aulões Salva-Vidas
    Aulões
    Salva-Vidas