Exercícios Resolvidos de Norma de um Vetor e Distância entre dois Vetores

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Enunciado

Seja u = A v . Classifique em Verdadeira ou Falsa as afirmações abaixo:

A Cada componente de u é o produto interno de v com uma linha de A

B   Se tanto v quanto as linhas de A são vetores unitários, então todas as componentes de u tem módulo menor que 1

C   Se v é não-nulo e pertence à imagem de A , então u nunca será o vetor nulo

D   Se v pertence ao núcleo de A , então u sempre será o vetor nulo

Passo 1

Vamos verificar letra por letra então ;)

A   Cada componente de u é o produto interno de v com uma linha de A

Bom, o que fazemos quando multiplicamos uma matriz por um vetor? Vamos tomar A uma matriz 2 × 2 e v um vetor do R 2 :

u 1 u 2 = a b c d v 1 v 2

u 1 u 2 = v 1 a + v 2 b v 1 c + v 2 d

Logo:

u 1 = a , b , v 1 , v 2

u 2 = c , d , v 1 , v 2

Fiz com vetores do R 2 e uma matriz 2 × 2 quadrada pra facilitar o entendimento, mas não é difícil perceber que isso vale para qualquer produto matriz vetor. Logo, essa afirmativa é verdadeira.

Passo 2

B   Se tanto v quanto as linhas de A são vetores unitários, então todas as componentes de u tem módulo menor que 1

Óbviamente não. Vamos pegar um exemplo qualquer:

1 0 = 1 0 0 1 1 0

Todas as linhas de A são vetores unitários, assim como o vetor v . No entanto, o módulo da primeira componente de u = 1,0 vale 1 . Logo, não possui módulo menor que 1 .

Logo, falsa.

Passo 3

C   Se v é não-nulo e pertence à imagem de A , então u nunca será o vetor nulo

Essa é chatinha. Vou te dar um contra-exemplo pra provar que é falsa.

0 0 0 = 1 1 - 1 1 1 - 3 1 1 - 2 1 - 1 0

Bom, v = 1 , - 1,0 claramente não é o vetor nulo. Além disso, temos que:

1 1 - 1 1 1 - 3 1 1 - 2 1 1 1 = 1 - 1 0

Logo, 1 , - 1,0 pertence à imagem de A . No entanto, vemos que u é o vetor nulo. Portanto, a afirmativa é falsa.

Passo 4

D   Se v pertence ao núcleo de A , então u sempre será o vetor nulo

Verdadeira. Se tiver marcado falsa vou até sua casa te bater rapá. Por definição, se v pertence ao núcleo de A , temos A v = 0 . Logo, u sempre será o vetor nulo.

Resposta

A   V

B   F

C   F

D   V

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Seja T um isomorfismo de um espaço vetorial V. Provar que se u , v é um produto interno sobre V, então o mesmo acontece com a função P T : V × V → R definida por P T ( u , v ) = T ( u ) , T ( v ) .
Sejam f ( t )=a 0 + a 1 t + a 2 t ² + . . . + a n t n e ² g ( t )=b 0 + b 1 t + b 2 t ² + . . . + b n t n ² polinômios quaisquer de P n ( R ) . A função ( f ( t ) , g ( t ) ) →a 0b 0 + a 1 b 1 + . . .
Seja V = R 4 munido do produto interno usual, determinar um vetor não nulo v ∈ R 4 que seja ortogonal a v 1 = ( 1 ,1 ,1 ,- 1 ) , v 2 = ( 1 ,2 ,0 ,1 ) e v 3 = ( - 4 ,1 ,5 ,2 ) .
No espaço V = P 2 consideremos o produto interno f t ∙ g t =∫ 0 1 f t ∙ g td t . Calcular f t ∙ g t e | f t | para f t = t 2 - 2 t e g t = t + 3 .
Consideremos no R 3 , o seguinte produto interno: x 1 , y 1 , z 1 ∙ x 2 , y 2 , z 2 = 2 x 1 x 2 + y 1 y 2 + 4 z 1 z 2 Determinar, em relação a esse produto interno, um vetor unitário simultaneamente o