Exercícios Resolvidos de P-valor

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Enunciado

O atual tempo de travessia de barcas entre Rio de Janeiro e Niterói é considerado uma variável aleatória com distribuição Normal de média 15 minutos e desvio padrão de 3 minutos. Uma nova barca da empresa concorrente MSC Barcas vai entrar em operação e os responsáveis garantem que será mais rápida que as anteriores. Teste a hipótese de que o tempo médio de travessia é igual ou superior a 15 minutos versus a alternativa de que ele é inferior a 15 minutos.

(a) Para uma amostra de 20 tempos de travessia com a nova barca, obteve-se um tempo médio de 14,5 minutos. Obtenha a região crítica (ou região de rejeição) do teste considerando um nível de 5%. Tome sua decisão.

(b) Obtenha o p-valor do teste. O resultado está coerente com a conclusão do item (a)? Justifique.

(c) Calcule a probabilidade do erro tipo II, se a nova barca gasta, em média, 2 minutos a menos que as anteriores para completar a travessia.

Passo 1

a)

Montando nossas hipóteses:

H 0 :     μ ≥ 15 m i n

H 1 :     μ < 15 m i n

Estamos num teste unilateral inferior! Calculando a estatística de teste:

Z t e s t e = x - - μ σ / n = 14,5 - 15 3 20 = - 0,745

E nosso ponto crítico pra esse tipo de teste é dado por:

- z 1 - α

Como α = 0,05 ...

- z 1 - 0,05 = - z 0,95 = - 1,64

Então tudo que for menor que - 1,64 é região crítica, pois estamos no teste unilateral inferior. Como nossa estatística de teste é MAIOR que isso, nós caímos na região de aceitação! Não rejeitamos a hipótese nula, ou seja, pode ser que a média seja igual ou maior a 15 minutos.

Passo 2

b)

O P-valor no teste unilateral inferior é dado por:

P Z < Z t e s t e = P Z < - 0,745

= P Z > 0,745 = 1 - P Z < 0,745 = 1 - 0,7734 = 0,2266

Como o p-valor é beeem maior que o nível de significância de 0,05 , nós não rejeitamos a hipótese nula! Novamente.

Passo 3

c)

Gastando 2 minutos a menos, nossa média seria de 13 minutos. Então a probabilidade do erro II é dada por:

β = P N ã o   r e j e i t a r   H 0 H 0   f a l s a

Temos que descobrir para que ponto crítico “não-padronizado” nós rejeitamos a hipótese nula. Para isso, temos que “desfazer” a padronização no ponto crítico - 1,64 encontrado:

z c r i t i c o = - 1,64 → x c r i t i c o = - 1,64 × σ n + μ = - 1,64 × 3 20 + 15 = 13,89

Então agora podemos escrever a probabilidade de erro II como:

β = P N ã o   r e j e i t a r   H 0 H 0   f a l s a = P x - ≥ 13,89 μ = 13

Padronizando...

= P Z ≥ 13,89 - 13 3 20

= P Z ≥ 1,32 = 1 - P Z < 1,32 = 1 - 0,906

= 0,094

Resposta

a)

Não rejeita-se a hipótese nula, ou seja, a média pode ser maior ou igual a 15 minutos.

b)

p - v a l o r = 0,226 . Como 0,226 > 0,05 , não rejeitamos a hipótese nula.

c)

0,094

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