O fabricante de determinado modelo de automóvel afirma que seu desempenho médio é de de gasolina. Testes foram feitos em 36 desses veículos, escolhidos ao acaso, e apurou-se um desempenho médio de . Admita que o desempenho siga o modelo Normal com variância igual a . Através do p-valor execute os dois testes, itens (a) e (b) a seguir, com relação a afirmação do fabricante:

(a) contra a alternativa . Que decisão deve ser tomada ao nível de 5%?

(b) contra a alternativa . Que decisão deve ser tomada ao nível de 5%?

(c) No item (a) obtenha a região de rejeição com . Se, de fato, , isso corresponderia a que valor da probabilidade do erro tipo II?

Nossa estatística de teste é dada por:

Pelo enunciado, conseguimos identificar todos esses caras aí da fórmula. Substituindo:

Agora calculamos nosso P-valor. No unilateral inferior, ele é dado por:

Mas desse jeito não conseguimos achar nosso na tabela da Normal, temos que tirar esse negativo. Para isso, invertemos o sinal de :

Mas agora entramos no problema do sinal , a nossa tabela dá valores para ! Então vamos trabalhar com a probabilidade complementar:

Procurando na tabela...

Então esse aí é o nosso P-valor. No enunciado, podemos ver que nosso nível de significância , daí temos que:

b)

Agora temos a mesma coisa que anteriormente com o porém do novo P-valor. Como nossa hipótese alternativa tem o sinal de , estamos num teste bilateral.

No teste bilateral, o P-valor é dado por:

Nosso continua a mesma coisa, ou seja, . Então:

E nós já calculamos essa probabilidade no item anterior:

Como nosso nível de significância , temos que:

E quando isso acontece, nós não rejeitamos a hipótese nula!

c)

Para calcular a região de rejeição (ou crítica) do nosso teste unilateral inferior, temos que calcular nossos pontos críticos.E nesse tipo de teste, ele é dado por:

Mas a gente usa esse ponto para comparar com a nossa estatística de teste, que é padronizada, certo? E quando a gente padroniza, os nossos valores dos parâmetros mudam e não são mais valores reais do problema, por que nós subtraímos e dividimos tudo por :

Então, se o nosso valor de não é o valor real, e a gente compara esse cara com o , isso provavelmente significa que o também não é real! E é justamente isso, o é um falor padronizado, que nem o .

Mas aqui nós queremos comparar diretamente com o valor , que não é um valor padronizado. Então vamos “despadronizar” o fazendo as operações inversas da padronização: ao invés de subtrair e dividir por , vamos multiplicar por e somar :

Vamos calcular o valor de cada termo dessa equação então, lembrando que :

Lembrando que esse é o que estamos testando, não necessariamente o real! Ou seja, é o que usamos para escrever as hipóteses.

Juntando todos esses valores, temos o nosso ponto crítico:

Agora que temos o ponto crítico, basta lembrarmos que, num teste unilateral inferior como é o nosso caso aqui, a região crítica é dada por tudo que está abaixo do ponto crítico. Então:

Erro de tipo II é quando não rejeitamos , mas é falsa. A probabilidade desse erro acontecer é:

No nosso caso, o enunciado diz que o valor verdadeiro de é . Então:

Calculando isso: