Exercícios Resolvidos de P-valor

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Enunciado

Numa linha de produção um engenheiro precisa estimar a proporção de peças defeituosas. Ele deseja que sua estimativanão se desvie da proporção verdadeira por mais de 0,06 com probabilidade de 95%.

(a) Quantas peças se precisa examinar para satisfazer essa exigência?

(b) Foi verificado que esse tipo de defeito afeta no máximo 15% das peças. Utilizando essa informação adicional, para quanto seria possível diminuir o tamanho da amostra?

(c) Com esse último tamanho amostral (item b) foi extraída uma amostra para a qual se obteve p ^ = 0,115 . Quanto seria o p-valor do teste, H 0 : p ≤ 0,10 versus H 1 : p > 0,10 ? Que decisão deveria ser tomada ao nível de significância de 5%?

Passo 1

a)

Para dimensionar o tamanho n dessa amostra para proporção amostral, vamos usar:

n = z 1 - α 2 d 2 p ( 1 - p )  

Onde α = 0,05 , a margem de erro d = 0,06 (“não se desvie mais que” é margem de erro!) e, como não temos informações de p , vamos usar o p máximo que é igual a 0,5 . Então:

n = z 1 - 0,05 2 0,06 2 0,5 1 - 0,5 = 1,96 0,06 2 0 , 25 = 266,7 → 267   p e ç a s

Para arredondar amostras quebradas, sempre usamos o próximo inteiro!

Passo 2

b)

Agora fazemos a mesma coisa mais usando o novo p máximo, que vale 0,15 :

n = 1,96 0,06 2 0,15 1 - 0,15 = 136,06 → 137   p e ç a s

Passo 3

c)

Esse teste pedido é um unilateral superior, e nesse tipo de teste o p-valor é dado por:

P - v a l o r = P ( Z > Z t e s t e )

Calculando o Z t e s t e para teste de hipóteses para proporção:

Z t e s t e = p ^ - p p ( 1 - p ) n = 0,115 - 0,10 0,10 ( 1 - 0,10 ) 137 = 0,59

Então:

P - v a l o r = P Z > Z t e s t e = P Z > 0,59 = 1 - P Z < 0,59 = 1 - 0,7224 = 0,2776

Como o p-valor é superior ao nível de significância, não rejeitamos a hipótese nula.

Resposta

a)

267   p e ç a s

b)

137   p e ç a s

c)

0,2776

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