Exercícios Resolvidos de Polarização da Luz

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Enunciado

O campo elétrico de uma onda eletromagnética plana e monocromática que se propaga no vácuo é descrito por

E → r → ,   t = E 0   x ^   s e n   k z - ω t + E 0   y ^ cos ⁡ k z - ω t ,

onde k , ω e E 0 são constantes positivas. Em função dos dados do enunciado e de constantes fundamentais, calcule o que se pede, justificando os cálculos.

a) Determine o comprimento de onda, o período de oscilação e a direção e o sentido de propagação dessa onda.

b) Determine a polarização da onda.

c) Determine o vetor campo magnético (módulo, direção e sentido) dessa onda eletromagnética.

Passo 1

Eai galerinha, bora resolver essa questão sobre ondas eletromagnéticas?

O problema deu para gente um campo elétrico:

E → r → ,   t = E 0   x ^   s e n   k z - ω t + E 0   y ^ cos ⁡ k z - ω t

Nota-se que as componentes do campo elétrico estão nas direções x e y , isto é, o vetor campo elétrico está no plano x y . Além disso, o argumento das funções trigonométricas é k z - ω t , o que sugere que a onda se propaga na direção positiva do eixo z .

Para achar o período T , nós lembramos que a frequência angular é dada por

ω = 2 π T → T = 2 π ω

Fazemos o mesmo para achar o comprimento de onda dado que o número de onda k é dado por

k = 2 π λ → λ = 2 π k

Esse foi o item (a), bem tranquilo né?

Passo 2

Agora vamos para o item (b). Queremos determinar a polarização da onda!

Aqui você precisa saber de uma coisa: a polarização da onda corresponde a direção que o vetor campo elétrico oscila. Para a gente analisar isso, vamos olhar para as componentes do campo elétrico:

E x z ,   t = E 0   s e n   k z - ω t

E y z ,   t = E 0 cos ⁡ k z - ω t

É fácil perceber que

E x 2 + E y 2 = E 0 2   s e n 2 k z - ω t + cos 2 ⁡ k z - ω t = E 0 2

Isso significa que o vetor campo elétrico está preso num círculo de raio E 0 . Trata-se, portanto, de uma polarização circular! Para a gente verificar o sentido da polarização, vamos considerar a posição z = 0 :

E x = E 0   s e n   - ω t = - E 0   s e n   ω t

E y = E 0 cos ⁡ - ω t = E 0 cos ⁡ ω t

Com isso, podemos marcar o vetor E → para os instantes de tempo: t = 0 , t = T / 4 , t = T / 2 e t = 3 T / 4 , onde T é o período. Lembrando que

t = 0 → ω t = 0

t = T 4 → ω t = π 2

t = T 2 → ω t = π

t = 3 T 4 → ω t = 3 π 2

Com isso, achamos:

É fácil perceber que o vetor está girando no sentido anti-horário. Portanto, trata-se de uma polarização circular anti-horária.

Passo 3

No último item queremos achar o campo elétrico correspondente. Para isso, usaremos a Lei de Faraday na forma diferencial:

∇ × E → = - ∂ B → ∂ t

O primeiro passo é calcular o rotacional do campo elétrico:

∇ × E → = x ^ y ^ z ^ ∂ x ∂ y ∂ z E x E y E z

Mas note que os campos não dependem de x e y , apenas de z . Desta forma, podemos desprezar as derivadas ∂ x e ∂ y . Além disso, E z = 0 , de modo que

∇ × E → = x ^ y ^ z ^ 0 0 ∂ z E x E y 0 = - ∂ E y ∂ z x ^ + ∂ E x ∂ z y ^

Como E y = E 0 cos ⁡ k z - ω t , temos que

∂ E y ∂ z = - k E 0   s e n   k z - ω t

E, usando E x = E 0   s e n   k z - ω t , achamos

∂ E x ∂ z = k E 0 cos ⁡ k z - ω t

Logo,

∇ × E → = k E 0   s e n   k z - ω t   x ^ + cos ⁡ k z - ω t   y ^

Passo 4

Com isso, temos que

∂ B → ∂ t = - ∇ × E → = - k E 0   s e n   k z - ω t   x ^ + cos ⁡ k z - ω t   y ^

Agora temos que integrar com relação ao tempo:

∫ s e n   k z - ω t   d t = 1 ω cos ⁡ k z - ω t

∫ cos ⁡ k z - ω t   d t = - 1 ω s e n   k z - ω t

Com isso, temos que

B → = - k E 0 1 ω cos ⁡ k z - ω t   x ^ - 1 ω s e n   k z - ω t   y ^

Lembrando que k ω = 1 c e jogando o sinal para dentro:

B → r → ,   t = E 0 c - x ^   cos ⁡ k z - ω t + y ^   s e n   k z - ω t

Uma coisa legal da gente observar é que

E → ⋅ B → = 0

Isso significa que mesmo na polarização circular, os vetores E → e B → são perpendiculares! Poderíamos calcular também o vetor de Poynting, que claramente daria na direção z (direção de propagação da onda), como deve ser!

Resposta

T = 2 π ω ,           λ = 2 π k ,               d i r e ç ã o   + z ^

Polarização circular anti-horária.

B → r → ,   t = E 0 c - x ^   cos ⁡ k z - ω t + y ^   s e n   k z - ω t

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