Exercícios Resolvidos de Polarização da Luz

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Enunciado

Uma onda eletromagnética monocromática, viajando no sentido + z ^ no vácuo, tem polarização circular direita e comprimento de onda igual a 450   n m . Na origem e em t = 0 o campo elétrico tem amplitude máxima dada por E → = + 100   x ^   V / m .

a) Escreve a expressão para o campo elétrico dessa onda, em função do tempo e espaço.

b) Encontre o campo magnético através da Lei de Faraday. Verifique a sua resposta através de B → = 1 c k ^ × E → .

c) Descreva duas maneiras de transformar o estado de polarização dessa onda para polarização linear.

Passo 1

Eai galerinha, bora resolver mais uma questão de física 4!

Nesse problema vamos discutir um pouquinho sobre polarização circular! Vale lembrar que a polarização nada mais é do que a direção do campo elétrico na onda eletromagnética.

Como a polarização é circular e a onda se propaga na direção + z , o vetor E → deve estar no plano x y :

Como a polarização circular é à direita, o vetor E → deve varrer o círculo no sentido horário. Para isso, escrevemos

E → = E 0   cos ⁡ k z - ω t + ϕ   x ^ + s e n   k z - ω t + ϕ   y ^

Se a polarização fosse à esquerda, teríamos que inverter a componente x com a y . Para achar E 0 e ϕ , usamos que para z = 0 e t = 0 ,

E → = + 100   x ^

Assim,

E 0   cos ⁡ ϕ   x ^ + s e n   ϕ   y ^ = 100   x ^

Basta escolher ϕ = 0 e E 0 = 100 . Portanto,

E → = 100   cos ⁡ k z - ω t   x ^ + s e n   k z - ω t   y ^

Passo 2

Para achar k e ω , usamos

k = 2 π λ             e         ω = c k = 2 π c λ

Assim, achamos

E → = E 0   cos ⁡ k z - ω t   x ^ + s e n   k z - ω t   y ^ ,           E 0 = 100 V m ,         k = 2 π λ       e       ω = k c

Se você quiser calcular k e ω numericamente sinta-se a vontade, mas acho que a resposta fica mais elegante dessa forma!

Passo 3

No item (b) queremos achar o campo B → usando a lei de Faraday:

∇ × E → = - ∂ B → ∂ t

Primeiro calculamos o rotacional:

∇ × E → = x ^ y ^ z ^ ∂ x ∂ y ∂ z E x E y E z

Como E z = 0 e as demais componentes não dependem de x e y , podemos escrever

∇ × E → = x ^ y ^ z ^ 0 0 ∂ z E x E y 0 = - ∂ E y ∂ z   x ^ + ∂ E x ∂ z   y ^

Agora calculamos as derivadas:

∂ E x ∂ z = ∂ ∂ z E 0 cos ⁡ k z - ω t = - k E 0   s e n   k z - ω t

∂ E y ∂ z = ∂ ∂ z E 0   s e n   k z - ω t = k E 0 cos ⁡ k z - ω t

Logo,

∇ × E → = - k E 0 cos ⁡ k z - ω t   x ^ - k E 0   s e n   k z - ω t   y ^

Usando a lei de Faraday:

∂ B → ∂ t = - ∇ × E → = k E 0 cos ⁡ k z - ω t   x ^ + k E 0   s e n   k z - ω t   y ^

Passo 4

Daí é só integrar no tempo:

B → = k E 0   x ^ ∫ cos ⁡ k z - ω t   d t + k E 0   y ^ ∫ s e n   k z - ω t   d t

Fazendo as integrais, achamos

B → = - k E 0   x ^ 1 ω   s e n   k z - ω t + k E 0   y ^ 1 ω cos ⁡ k z - ω t

Usando que k ω = 1 c , temos que

B → = E 0 c - s e n   k z - ω t   x ^ + cos ⁡ k z - ω t   y ^

Observe que

E → ⋅ B → = 0

Isso significa que os campos são perpendiculares, como devem ser! Além disso,

k ^ × E → = z ^ × E → = E 0   z ^ × cos ⁡ k z - ω t   x ^ + s e n   k z - ω t   y ^

Como z ^ × x ^ = y ^ e z ^ × y ^ = - x ^ , temos que

k ^ × E → = E 0 - s e n   k z - ω t   x ^ + cos ⁡ k z - ω t   y ^

Logo,

1 c k ^ × E → = E 0 c - s e n   k z - ω t   x ^ + cos ⁡ k z - ω t   y ^ = B →

Portanto, o campo que achamos concorda com a expressão geral fornecida no enunciado!

Passo 5

Para terminar o problema, vamos resolver o item (c)!

Ele quer saber como podemos transformar uma onda circularmente polarizada em uma onda linearmente polarizada.

Uma das formas de se fazer isso é fazendo com que a onde seja refletida por uma superfície com o ângulo de Brewster. Sempre que uma onda com polarização qualquer incide sobre uma superfície plana que separa dois meios com o ângulo de incidência sendo igual ao ângulo de Brewster, a onda refletida tem polarização linear perpendicular ao plano de incidência.

Com isso, uma das formas de obter a onda linearmente polarizada é refletir uma onda circularmente polarizada com incidência igual ao ângulo de Brewster.

Uma outra forma de se fazer isso é fazer com que a luz circularmente polarizada atravesse um polarizador linear. Lembre-se que podemos decompor a onda circularmente polarizada em duas componentes que oscilam harmonicamente e estejam defasadas em π / 2 (uma seja um seno e a outra seja um cosseno). Se a luz atravessa um polarizador linear, uma dessas componentes é anulas e a outra atravessa e a polarização da onda transmitida passa a ser linear.

Resposta

E → = E 0   cos ⁡ k z - ω t   x ^ + s e n   k z - ω t   y ^ ,           E 0 = 100 V m ,         k = 2 π λ       e       ω = k c

B → = E 0 c - s e n   k z - ω t   x ^ + cos ⁡ k z - ω t   y ^

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