Exercícios Resolvidos de Polarização da Luz

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Enunciado

Em relação a um referencial inercial A , no instante de tempo t = 5   a n o s , uma partícula n 1 se encontra na posição ( x = L , y = 0 , z = 0 ) e velocidade + 4 c / 5 x ^ . Outra partícula n 2 possui velocidade + 3 c / 5 x ^ e posição ( x = 2 L , y = 0 , z = 0 ), onde L = 2   a n o s - l u z , em relação à A . Um referencial inercial B se move com velocidade de - 3 c / 5 x ^ em relação ao referencial inercial A . Determine, em função dos dados do enunciado e substituindo todas as constantes pelos seus respectivos valores, i) a posição e o instante de tempo, em relação ao referencial B , para os quais a partícula n 1 alcança a partícula n 2 ; e ii) a velocidade relativa da partícula n 2 em relação ao referencial da partícula n 1 (módulo, direção e sentido).

Passo 1

Bom galera... nessa questão temos duas partículas que se movimentam e se encontram em um dado instante de tempo.

Para um referencial A , já sabemos as velocidades e posições iniciais das partículas, portanto, podemos encontrar o tempo e a posição que elas se encontram nesse referencial, fazendo.

Após, podemos usar as transformações de Lorentz para encontrar essa posição e tempo em um referencial B .

Por fim, na última parte da questão, queremos encontrar a velocidade relativa da partícula n 2 em relação ao referencial da partícula n 1 , e para isso vamos considerar o referencial da partícula n 1 como sendo o nosso referencial S ' da transformação de Lorentz.

Passo 2

No referencial A , temos para a partícula n 1 que:

x 1 τ = L + 4 c 5 τ

E para a partícula n 2 , temos que:

x 2 τ = 2 L + 3 c 5 τ

Queremos que x 1 τ = x 2 τ , portanto:

L + 4 c 5 τ = 2 L + 3 c 5 τ

4 c 5 τ - 3 c 5 τ = 2 L - L

c 5 τ = L

τ = 5 L c = 5 2 a n o s l u z l u z = 10   a n o s

E substituindo τ = 10   a n o s , teremos que:

x 1 = L + 4 c 5 τ

x 1 = 2 a n o s l u z + 4 5 10   a n o s l u z

x 1 = 10   a n o s l u z = x 2

Portanto, no referencial inercial A , esse evento ocorre com coordenadas

x A = 10   a n o s   l u z

t A = 5   a n o s + τ = 15   a n o s

Passo 3

Para a transformação de Lorentz, como o referencial B se movimenta para trás, precisamos notar que A vai se comportar como S ' e B vai se comportar como S , portanto, faremos uma transformação do referencial S ' para o referencial S , com o referencial S ' se movimentando com u = 3 c / 5

γ = 1 1 - u 2 c 2

γ = 5 4

Dessa forma,

x B = γ x A + u t A = 5 4 10 + 3 c 5 15 a n o s

x B = 5 4 10 + 9 = 95 4 a n o s l u z = 23,75 a n o s a l u z

E o tempo t B , será:

t B = γ t A + u x A c 2

t B = 5 4 15 + 3 c 5 10 a n o s l u z c 2

t B = 5 4 15 + 6 = 105 4 a n o s = 26,25   a n o s .

Passo 4

Por fim, vamos encontrar a velocidade da nave n 2 no referencial de n 1 .

Para isso, vamos considerar o referencial A como nosso referencial S . A velocidade da nave n 2 é a nossa velocidade v = 3 c 5 . E queremos transformar essa velocidade v para um referencial S ' que se movimenta na velocidade de n 1 que é u = 4 c 5 .

Realizando portanto a transformação de Lorentz para velocidade, teremos:

v 1 = v - u 1 - u v c 2

v 1 = 3 c 5 - 4 c 5 1 - 12 c 2 25 c 2  

v 1 = - 1 c 5 13 25

v 1 = - 5 c 13

Portanto, a velocidade é v → = - 5 c 13 x ^

Resposta

i)

x B = 23,75 a n o s a l u z

t B = 26,25   a n o s

ii)

v → = - 5 c 13 x ^

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