Exercícios Resolvidos de Polarização da Luz

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Enunciado

O campo elétrico de uma onda plana eletromagnética monocromática no vácuo é dado por

E → x , t = E 0 [ cos ⁡ k x - ω t y ^ + sen ⁡ k x - ω t z ^ ]

  1. Obtenha a expressão para o campo magnético B → x , t associado a essa onda.
  2. Discuta a evolução no tempo do campo elétrico na posição x = y = z = 0 , por meio de um esboço de E → no plano de polarização. Que tipo de polarização esta onda apresenta?
  3. Determine a média temporal do vetor de Poynting S → .
  4. Considere uma bactéria de estrutura esférica de raio R e massa M 1 que absorve completamente a radiação eletromagnética que a atinge (e não reflete), de baixo para cima.

Desprezando outros possíveis efeitos, determine o valor mínimo de E 0 para que a bactéria não caia sob o efeito da gravidade, se a onda plana aqui discutida for usada para suspendê-la (suponha que a superfície de absorção da bactéria seja um disco de raio R ).

Passo 1

Letra a)

O produto vetorial de E → e B → sempre vai apontar no sentido de propagação da onda k → .Além disso, como eles são perpendiculares, o produto vetorial entre E → e k → também vai apontar no sentido do campo magnético B → .

Além disso, k → é unitário e os módulos do campo elétrico e magnético se relacionam por:

E m c = B m

Podemos então achar o campo magnético fazendo o seguinte produto:

1 c k → × E → = B →

Uma forma de lembrar o produto vetorial é pelo seguinte determinante:

k → × E → = x ^ y ^ z ^ k x k y k z E x E y E z = E z k y - E y k z x ^ + E x k z - E z k x y ^ + E y k x - E x k y z ^

Como a onda se propaga ao longo do eixo x (pois é a variável que aparece no argumento do campo elétrico), então k y = k z = 0 e k x = 1 . Além disso, no vetor campo elétrico, E x = 0 .

k → × E → = x ^ y ^ z ^ 1 0 0 0 E y E z = - E z y ^ + E y z ^

E então, temos:

B → = 1 c E → × k → = E 0 c - sen ⁡ k x - ω t y ^ + cos ⁡ k x - ω t z ^

Passo 2

Letra b)

Na posição x = 0 , temos E → x , t = E 0 [ cos ⁡ - ω t y ^ + sen ⁡ - ω t z ^ ] . Agora vamos ver como esse campo elétrico varia no tempo.

O período do seno e do cosseno é de t = T = 2 π / ω , e assim vamos dividir esse tempo em quatro intervalos e avaliar a evolução do campo elétrico.

t 0 = 0 → ω t = 0 → E → x , t = E 0 cos ⁡ 0 y ^ + sen ⁡ 0 z ^ = E 0 y ^

t 1 = T 4 → ω t = ω 2 π 4 ω = π 2 → E → x , t = E 0 cos ⁡ - π 2 y ^ + sen ⁡ - π 2 z ^ = - E 0 z ^

t 2 = 2 T 4 → ω t = ω 2 ∙ 2 π 4 ω = π → E → x , t = E 0 cos ⁡ - π y ^ + sen ⁡ - π z ^ = - E 0 y ^

t 3 = 3 T 4 → ω t = ω 3 ∙ 2 π 4 ω = 3 π 2 → E → x , t = E 0 cos ⁡ - 3 π 2 y ^ + sen ⁡ - 3 π 2 z ^ = E 0 z ^

Essa onda apresenta polarização circular, girando no sentido horário pra quem olha no sentido negativo do eixo x !

Outra forma de vermos isso é colocando as duas componentes como uma mesma função trigonométrica para vermos sua diferença de fase.

E z = E 0 sen ⁡ k x - ω t = E 0 cos ⁡ k x - ω t - π 2

Essa diferença entre elas vai ser:

Δ ϕ = k x - ω t - k x - ω t - π 2 = π 2

A regra é que quando Δ ϕ = π / 2 e as amplitudes são iguais E y , m = E z , m = E 0 temos uma polarização circular!

Passo 3

Letra c)

O vetor de Poynting é dado por:

S → = E → × B → μ 0 = 1 μ 0 x ^ y ^ z ^ E x E y E z B x B y B z

Como E x = B x = 0 , teremos:

S → = 1 μ 0 ∙ E y B z - E z B y x ^ = 1 μ 0 ∙ E 0 c ∙ E 0 cos 2 ⁡ k x - ω t + sen 2 ⁡ k x - ω t x ^ = E 0 2 μ 0 c x ^

Como o módulo do vetor de Poynting é sempre constante e igual a E 0 2 / μ 0 c , quando fizermos sua média no tempo, ela vai dar esse mesmo valor.

< S → >   = E 0 2 μ 0 c

A média temporal do vetor de Poynting é a intensidade luminosa. Então neste caso:

I = E 0 2 μ 0 c

Mas por que não aparece um fator 2 no denominador?

Quando esse fator aparece, é porque o vetor de Poynting varia com o tempo! Quando ele varia como um seno ou cosseno, a sua média é a sua amplitude dividida por dois.

Mas nesse caso, temos a média de um valor constante, que é o próprio valor.

Passo 4

Letra d)

Como a bactéria absorve toda a radiação incidente, a pressão exercida sobre ela vai ser:

P r a d = I c

Pela discussão anterior, essa pressão vai ser então:

P r a d = E 0 2 μ 0 c ∙ 1 c = E 0 2 μ 0 c 2

A força exercida vai ser a pressão multiplicada pela área da superfície de absorção.

F r a d = P r a d ∙ Á r e a

Pelo enunciado, a área é um disco de raio R , e por isso vai ser dada por:

Á r e a = π R 2

F r a d = E 0 2 μ 0 c 2 ∙ π R 2

Essa força tem que contrabalancear a força gravitacional que atua na bactéria, e por isso:

F r a d = F g r a v = M 1 g

Podemos substituir a equação anterior, e rearrumar o resultado para achar o valor necessário da magnitude do campo elétrico.

E 0 2 μ 0 c 2 ∙ π R 2 = M 1 g

E 0 = c R ∙ μ 0 M 1 g π

Resposta

Letra a)

B → = E 0 c - sen ⁡ k x - ω t y ^ + cos ⁡ k x - ω t z ^

Letra b)

Polarização Circular

Letra c)

< S → >   = E 0 2 μ 0 c

Letra d)

E 0 = c R ∙ μ 0 M 1 g π

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