Exercícios Resolvidos de Regra da Cadeia – Tópicos Adicionais

UFF, Cálculo IIB, GMA, 2008.2, Lista 3, questão 12

Dada a função

z = ∫ x x 2 + y 2 e t d t

Calcule ∂ z ∂ x 1,2 e ∂ z ∂ y 1,2

Passo 1

Vamos começar fazendo a derivada em relação a x , como temos uma integral vamos usar o teorema fundamental do cálculo, mas antes precisamos deixar essa integral um pouco diferente, porque a integral nós fazermos de um número até uma função, então vamos começar arrumando isso

z = ∫ x x 2 + y 2 e t d t = ∫ x 0 e t d t + ∫ 0 x 2 + y 2 e t d t = - ∫ 0 x e t d t + ∫ 0 x 2 + y 2 e t d t

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Vamos agora para a derivada, usando o teorema fundamental do cálculo e a regra da cadeia vamos ter

∂ z ∂ x = - e x ∙ ∂ ∂ x x + e x 2 + y 2 ∙ ∂ ∂ x x 2 + y 2

∂ z ∂ x = - e x + 2 x e x 2 + y 2

Substituindo o ponto que ele pediu temos

∂ z ∂ x 1,2 = - e 1 + 2 ∙ 1 e 1 2 + 2 2 = - e + 2 e 5

Passo 3

Vamos agora para a derivada em relação a y

∂ z ∂ y = 0 + e x 2 + y 2 ∙ ∂ ∂ y x 2 + y 2

∂ z ∂ y = 2 y e x 2 + y 2

Substituindo o ponto que ele pediu temos

∂ z ∂ y 1,2 = 2 ∙ 2 e 1 2 + 2 2 = 4 e 5

Resposta

∂ z ∂ x 1,2 = - e + 2 e 5

∂ z ∂ y 1,2 = 4 e 5

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