Exercícios Resolvidos de Regra da Cadeia – Tópicos Adicionais

UFF, Cálculo 2B, Listas, Lista 6, questão 10

Seja

w = ∫ x y e t 2 d t

x = r s 4

y = r 4 s

Calcule

∂ w ∂ r         e       ∂ w ∂ s

Passo 1

Temos duas formas de resolver essas derivadas aqui, podemos trocar x e y pelas funções de r e s na integral e derivar, ou podemos ir pela regra da cadeia, eu vou pela regra da cadeia.

A primeira coisa que temos que fazer é achar o gradiente de w em x e y , primeiro vamos dar uma arrumada nessa integral para podermos aplicar o teorema fundamental do cálculo, para isso vamos fazer a integral indo de uma constante à uma variável.

w = ∫ x y e t 2 d t = ∫ x 0 e t 2 d t + ∫ 0 y e t 2 d t = - ∫ 0 x e t 2 d t + ∫ 0 y e t 2 d t

w = - ∫ 0 x e t 2 d t + ∫ 0 y e t 2 d t

O vetor gradiente vai ser

∇ w = ∂ w ∂ x , ∂ w ∂ y

∂ w ∂ x = - e x 2 ∙ ∂ ∂ x x = - e x 2

∂ w ∂ y = e y 2 ∙ ∂ ∂ y y = e y 2

O vetor gradiente vai ser

∇ w = - e x 2 , e y 2

Devemos ter esse gradiente em relação a r e s então

∇ w = - e r s 4 2 , e r 4 s 2

∇ w = - e r 2 s 8 , e r 8 s 2

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Agora a gente precisa calcular o gradiente de x e de y .

Vamos começar pelo gradiente de x :

x = r s 4

∇ x r , s = ∂ x ∂ r , ∂ x ∂ s = s 4 ,   4 s 3 r

Passo 3

Vamos calcular agora o gradiente de y :

y = r 4 s

∇ y r , s = ∂ y ∂ r , ∂ y ∂ s = 4 r 3 s ,   r 4

Passo 4

Aplicando a regra da cadeia, então, temos:

Para a derivada em relação a r :

∂ w ∂ r = ∂ w ∂ x ∂ x ∂ r + ∂ w ∂ y ∂ y ∂ r

∂ w ∂ r = - e r 2 s 8 s 4 + e r 8 s 2 4 r 3 = - s 4 e r 2 s 8 + 4 r 3 s e r 8 s 2

E para a derivada em relação a s :

∂ w ∂ s = ∂ w ∂ x ∂ x ∂ s + ∂ w ∂ y ∂ y ∂ s

∂ w ∂ s = - e r 2 s 8 4 s 3 r + e r 8 s 2 r 4 = = - 4 s 3 r e r 2 s 8 + r 4 e r 8 s 2

Resposta

∂ w ∂ r = - s 4 e r 2 s 8 + 4 r 3 s e r 8 s 2

∂ w ∂ s = - 4 s 3 r e r 2 s 8 + r 4 e r 8 s 2

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